• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Змушені коливання

Змушені коливання відбуваються за умови, що на матеріальну точку, крім поновлюючої сили , діє збурююча сила , яка змінюється за гармонічним законом, тобто де Н – максимальне значення збурюючої сили, р ‑ колова частота збурюючої сили (рис. 8.10).

Диференційне рівняння руху матеріальної точки М (вантажу) має вигляд

Рис. 8.10

, або в проекції на вісь х: , або після ділення на m: , де Загальний розв¢язок неоднорідного диференційного рівняння складається з двох розв¢язків (рис. 8.11): де ‑ загальний розв¢язок однорідного рівняння, ‑ частинний розв¢язок неоднорідного рівняння.

Рис. 8.11

При визначенні частинного розв¢язку розглянемо 3 випадки:

.

1. Частота вільних коливань не дорівнює частоті збурюючої сили .

У цьому випадку .

Тоді закон коливання вантажу

або

де ‑ постійні інтегрування, що визначаються з початкових умов.

Закон коливання свідчить, що коливання складаються в цьому випадку з коливання з амплітудою а (залежною від початкових умов) і власною частотою k, і коливання з амплітудою (не залежною від початкових умов) і частотою р, які називаються змушеними коливаннями .

При цьому на відміну від вільних коливань, що описуються однорідними диференційними рівняннями, вільні коливання за наявності збурюючої періодичної сили збуджуються також за нульових початкових умов

Рис. 8.12

При амплітуда змушених коливань необмежено зростає.

При (або ) амплітуда дорівнює статичному відхиленню точки під дією сили H (максимальне значення збурюючої сили) (рис. 8.12).

При амплітуда .

Змушені коливання, частота яких частоти k вільних коливань, називаються змушеними коливаннями малої частоти () і .

Фаза коливань pt співпадає з фазою збурюючої сили .

Змушені коливання, частота яких частоти к вільних коливань, називаються змушеними коливаннями великої частоти і

.

У цьому випадку амплітуда вимушених коливань дорівнює , а фаза відрізняється від фази збурюючої сили pt на , тобто фази змушених коливань і збурюючої сили протилежні.

2. Розглянемо випадок, коли частота вільних коливань приблизно дорівнює частоті збурюючої сили , якщо при , тобто початкові умови нульові (Рис 8.13).

У цьому випадку .

Рис. 8.13

Коливальний рух відбувається з частотою збурюючої сили, амплітуда якої повільно змінюється з частотою, що відповідає половині різниці частот р і к. Такий рух називається биттям.

3. Якщо частота вільних коливань дорівнює частоті збурюючої сили (), характер коливань якісно змінюється і виникає резонанс.

Рис. 8.14

Частинний розв’язок неоднорідного диференціювання має вигляд

Амплітуда змушених коливань х₂, що визначається як ‑ , збільшується прямо пропорційно часу і при необмежено зростає (рис.8.14).

У разі ненульових початкових умов загальний розв¢язок неоднорідного диференційного рівняння має вигляд: .

Рис. 8.15

Розглянемо коливання вантажу масою m на пружині жорсткістю с, прикріпленій до основи в точці А, яка починає здійснювати рух уздовж осі ох за законом (рис. 8.15). На точку М (вантаж вагою ) діє сила пружності пружини і сили ваги . Точка О - це початок осі ох положення статичної рівноваги, де сила і врівноважені: (Р=F, mg=c f_ст). Якщо l₀ – довжина пружини в недеформованому стані, то її довжина у будь-якій момент часу , а повна деформація .

Тоді діюча на вантаж сила пружності .

Диференційне рівняння руху вантажу в проекції на вісь ох має вигляд

,

або ,

або ,

або ,

де .

Отже, вантаж здійснює вимушені коливання і закон коливання залежатиме від співвідношення к і р.

Прямолінійні гармонійні коливання матеріальної точки

Вид коливання	Вільні	Згасаючі
Діючі сили
Диференційне рівняння руху
Розв¢язок диференційного рівняння закон руху		)
Параметри руху	- власна частота період   - амплітуда - початкова фаза	частота згасаючих коливань   період згасаючих коливаньамплітуда згасаючих коливань - початкова фаза	Згасаючий   аперіодичний   рух	Згасаючий аперіодичний рух

Продовження таблиці

Вид коливання	Вимушені
Діючі сили
Диференційне рівняння руху
Розв¢язок диференційного рівняння закон руху		резонанс
Параметри руху	- власна частота змушених коливань р ‑ колова частота змушених коливань, ‑ період власних коливань, ‑ період вимушених коливань.

Читайте також:

1. АВТОКОЛИВАННЯ
2. Вимушені електромагнітні коливання
3. Вимушені коливання
4. Вимушені коливання
5. Вібрація – це механічні коливання матеріальних точок або тіл, які виникають в горизонтальному і вертикальному напрямах.
6. Вільні коливання
7. Власні коливання динамічних систем
8. Вплив коливання рівня води в всмоктувальному резервуарі на режим роботи насоса.
9. Гармонічні коливання
10. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань та його розв’язок. Амплітуда, фаза, частота, період коливань
11. Гідродинамічні коливання тиску
12. Екологічна валентність – властивість організму витримувати амплітуду коливання того чи іншого екологічного фактора.

Переглядів: 1149