1) Пересвідчитися, що відрізок [Х(n) - 5, Х(1)] не пустий.
2) Знайти оцінку методу моментів (по першому моменту) і пересвідчитися, що вона відрізняється від ОМП.
3) Знайти ОМП параметра qрівномірного розподілу Uq,q+3 .
1. Задачник [1], задачі 2.1 - 2.16.
2. Дана вибірка Х1,..., Хn , Xi Î Вp, р Î (0,1) невідомий параметр. Перевірити, що Х1, Х1Х2, X1(1 - Х2) є незміщеними оцінками відповідно для р, р2, р(1 - р). Чи Є ці оцінки спроможними?
3. Дана вибірка Х1,..., Хn, Xi Î Пl, l > 0 невідомий параметр. Перевірити, що X1 і I(X1 = k) є незміщеними оцінками відповідно для l і . Чи Є ці оцінки спроможними?
4. Дана вибірка Х1,..., Хn, Xi Î U0,q, q > 0 - невідомий параметр. Перевірити спроможність і незміщеність оцінок: q1* = Х(n), q2* = 2X, q3* = Х(n) + Х(1).
5. Побудувати оцінки невідомих параметрів по методу моментів для наступних розподілів:
а) Вp по першому моменту,
б) Пl по першому і другому моменту,
в) Ua,b по першому і другому моменту,
г) Еa по всіх моментах,
д) e1/a по першому моменту,
е) U-q,q як вийде,
ж) Гa,l по першому і другому моменту,
з) Na,s2 (для s2 при a відомому і при a невідомому).
6. Які з оцінок в задачі 5 незміщені? спроможні?
7. Порівняти вигляд оцінок для параметра а, отриманих по першому моменту в задачах 5(г) і 5(д). Доказати, що серед них тільки одна незміщена. Вказівка. Використати властивість: якщо x ³ 0 п.н., то = const п.н.
8*. Довести властивість із задачі 7, використовуючи нерівність Коши-Буняковского-Шварца: , яке звертається в рівність Û êxô=сôhô (див. доказ властивості коефіцієнта кореляції ôрô£ 1 в курсі теорії імовірностей).
9. Побудувати оцінки невідомих параметрів по методу максимальної правдоподібності для наступних розподілів: а) Вр, би)Пn+1, в) U0,2 г) Е2n+3, д) U, е) N(а відомо).