• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод вузлових напруг.

Цей метод дозволяє скоротити порядок системи до числа рівнянь, складених лише за першим законом Кірхгофа.

Постановка задачі: задана схема електричного кола і параметри елементів, причому джерела енергії задані у вигляді джерел струму. Якщо схема має джерела напруги, то їх потрібно замінити еквівалентними джерелами струму. Необхідно визначити струми у всіх вітках.

Методику розрахунку та його алгоритм розглянемо на прикладі конкретної схеми (рис. 2.22).

За числом пронумерованих вузлів (у даному випадку 2) запишемо у загальному вигляді вузлові рівняння, вид яких треба запам’ятати.

В цих рівняннях U₁ і U₂ – вузлові напруги, G₁₁ – власна провідність першого вузла. Вона дорівнює сумі провідностей віток, які підходять до першого вузла:

.

G₂₂ – власна провідність другого вузла. Вона дорівнює сумі провідностей віток, які підходять до другого вузла:

.

G₁₂, G₂₁ – спільні провідності між першим і другим вузлом. Вони дорівнюють сумі провідностей віток, які включені між першим і другим вузлом. Спільні провідності завжди беруться із від’ємним знаком.

.

Якщо у електричному колі нема віток, що з’єднують відповідні вузли, то спільна провідність цих вузлів дорівнює нулеві.

J_1В – вузлова СРС першого вузла. Дорівнює алгебричній сумі СРС, які підходять до першого вузла. Струморушійна сила береться з додатним знаком, якщо вона направлена до відповідного вузла, і з від’ємним - якщо від вузла.

Для даного кола

, .

Таким чином визначені всі коефіцієнти, які входять до системи вузлових рівнянь.

Розв’язуючи систему відносно вузлових напруг, визначаємо U₁ і U₂ .

Вказуємо додатні напрямки струмів у вітках і визначаємо їх за законом Ома через вузлові напруги. Якщо додатні напрямки вузлової напруги і струму в опорі збігаються, струм береться зі знаком “+”, якщо не збігаються - зі знаком “-“.

.

Для визначення струму I₂ спочатку знайдемо напругу U₁₂ на провідності G₂. Додатний напрямок напруги U₁₂ - від першого вузла до другого.

.

Тоді струм

.

Таким чином знайдено струми у всіх вітках даної схеми.

Вузлові рівняння можна записати у матричній формі.

,

де G- матриця провідностей кола;

U - матриця вузлових напруг;

J - матриця вузлових СРС.

Тоді в матричній формі вузлові рівняння матимуть вигляд:

.

Розв’язання даного матричного рівняння має вигляд

,

де – матриця, що є оберненою матриці провідностей кола.

· Алгоритм розрахунку електричних кіл методом вузлових напруг.

Постановка задачі: задана схема електричного кола і параметри його елементів. Всі джерела енергії задані у вигляді джерел струму. Якщо у схемі є джерела напруги, то їх треба перетворити на еквівалентні джерела струму. Треба визначити струми у всіх вітках.

1. Вибираємо базовий вузол і нумеруємо решту вузлів.

2. За кількістю пронумерованих вузлів записуємо у загальному вигляді вузлові рівняння.

3. За схемою кола визначаємо власні і взаємні провідності та вузлові СРС.

4. Розв’язуючи систему рівнянь, визначаємо вузлові напруги.

5. Вказуємо додатні напрямки струмів у вітках та визначаємо їх за законом Ома через вузлові напруги.

6. Складаємо рівняння балансу потужностей кола і перевіряємо вірність розрахунків.

Якщо початкова схема містила джерела напруги, то треба повернутися до неї і визначити струми, яких бракує.

Примітка.

Метод вузлових напруг має переваги (за порядком систем рівнянь) над методом контурних струмів у випадку, коли виконується співвідношення

<.

У протилежному випадку переваги має метод контурних струмів.

Приклад. Визначити струми у вітках електричного кола, схема якого зображена на рис. 2.23.У цій схемі задано:

Розв’язок.

1. Вибираємо базовий вузол і нумеруємо решту вузлів.

2. Записуємо вузлові рівняння за кількістю пронумерованих вузлів:

3. Визначаємо коефіцієнти системи:

4. Розв’язуємо систему рівнянь:

і визначаємо вузлові напруги

5. Вказуємо додатні напрямки струмів і визначаємо їх за законом Ома.

Напрямок вузлової напруги U₁ збігається з додатним напрямком струму I₁, тому добуток G₁U₁ буде мати додатний знак

.

Напрямок струму І₃ протилежний напрямку вузлової напруги U₂ , тому добуток буде мати від’ємний знак:

.

Напруга між вузлами 1 і 2 має напрямок, який збігається з напрямок струму I₂, тому

.

6. Складаємо рівняння балансу потужностей у колі

.

Підставляючи числові значення одержуємо :

Баланс потужностей виконується, тобто розрахунок струмів у колі виконано вірно.

Якщо електричне коло має вітку з джерелом ЕРС без послідовно з’єднаного опору, яке не можна замінити еквівалентним джерелом струму, то таке коло також можна розрахувати методом вузлових напруг. Для цього один з вузлів, між якими знаходиться джерело ЕРС, приймається за базовий. Тоді вузлова напруга другого вузла буде відома і дорівнювати значенню ЕРС з відповідним знаком. У такому разі кількість невідомих вузлових напруг скорочується на одиницю.

Приклад. Визначити струми у вітках електричного кола, схема якого зображена на рис. 2.24. Параметри елементів задані :

1. За базовий вибираємо вузол, до якого підключено джерело ЕРС Е₂, а інші вузли нумеруємо.

2.Записуємо вузлові рівняння:

Вітка з ЕРС Е₂ має нескінчену провідність, G₁₁- не визначена і тому перше рівняння має невизначений коефіцієнт. Але перше рівняння і не потрібно, тому що вузлова напруга першого вузла відома:

3. Визначаємо коефіцієнти другого рівняння:

4. Після підстановки значень маємо

, звідки

5. Вказуємо додатні напрямки струмів у вітках і визначаємо їх за вузловими напругами:

Обґрунтовування методу вузлових напруг дамо на прикладі кола, схема якого подана на рис. 2.25.

(1) ;

(2) .

Виражаємо струми у вітках через вузлові напруги:

Тоді рівняння за I законом Кірхгофа набувають вигляду:

Після групування доданків з однаковими вузловими напругами одержимо:

Введемо позначення:

Перепишемо систему:

Таким чином система рівнянь набуває стандартного вигляду рівнянь методу вузлових напруг, розв’язання якої розглянуто раніше.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 3728