• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Випадкові величини

Композтція n випробувань

Маємо простих випробувань

, де – номер випробування, – індекс елементарної події.

Композицією випробувань зветься складне випробування, що полягає у проведенні всіх простих випробувань.

За означенням елементарна подія композиційного випробування має загальний вигляд

Довжина

Якщо – простір елементарних подій -ого випробування.

– простір композиційного випробування

Прості випробування звуться незалежними, якщо

1. Ймовірність наставання подій композиційного випробування дорівнює добутку ймовірності наставання її компонент.

2. Прості випробування звуться незалежними, якщо в їх склад входять різні випадкові фактори, тобто жодні два випробування не містять спільного випадккового фактора.

Ці два означення еквівалентні, з 2 випливає 1.

Доведення базується на доведенні цього факту, коли , а далі принцип математичної індукції.

Наслідок:

Розглянемо , де – будь-яка складна подія, породжена і-им випробуванням.

Розглянемо

,

Ця формула формально використовується неправильно.

Внаслідок проведення незалежних випробувань (тобто будь-які 2 з яких не мають спільних випадкових факторів) ймовірність того, що у першому настане , а у другому – , у – дорівнює добутку ймовірності наставання цих подій.

незалежними випробуваннями Бернуллі зветься простих незалежних випробувань, в кожному з яких може настати подія чи . Ймовірність наставання події , . і можуть бути і неелементарними подіями.

Задача

Знайти ймовірність того, що в незалежних випробуваннях Бернуллі подія настає разів, де .

Робимо композицію незалежних випробувань Бернуллі. Зафіксуємо загальний вигляд елементарної події композиційного випробування. Це буде символ довжини , що складається з простих символів, що є або .

Тоді

Подія, ймовірність якої шукаємо, є складною і складається з усіх різних елементарних подій, кожна з яких подію містить разів.

Ймовірність

, де – загальна кількість різних елементарних подій, що міститься разів.

Введення в теорію ймовірностей випадкових величин призвело до того, що ця наука стала необхідним інструментом в будь-якій області діяльності людини.

Випадкова величина задається випробуваннями, результатом якого є число. Таким чином, коли ми розглядаємо випробування, простором елементарних подій є сукупність чисел.

Розрізняють два типи випадкових величин:

· Дискретні

· Неперервні

Дискретною випадковою величиною зветься випадкова величина, простір елементарних подій якої є обмежена чи нескінченно злічена множина чисел.

Дискретна випадкова величина задається наступною табличкою:

, де задається для зручності у порядку зростання, і – обмежене число чи . Перший рядок складають елементарні події,всі можливі числові. Другий – ймовірності наставання цих елементарних подій. З 3 аксіоми Колмогорова випливає, що

Неперервною випадковою величиною зветься випадкова величина, простір елементарних подій якої є вся числова всі, чи відрізок (відрізки) числової осі. Неперервна випадкова величина є математичною абстракцією, але без неперервних величин не існує жодної граничної теореми.

Функцією розподілу випадкової величини зветься числова скалярна функція дійсного аргументу , яка при будь-якому фіксованому значенні дорівнює ймовірності наставання наступної події:

Ця рівність читається так: значення функції розподілу при фіксованому значенні аргументe дорівнює ймовірності наставання наступної події:

Внаслідок випробування випадкова величина приймає числове значення, яке строго менше фіксоване.

Примітка! (велика літера) – випадкова величина, (маленька літера) – аргумент її функції розподілу чи функції щільності.

Властивості функції розподілу

1)

2)

Для подій:

так як ці дві події несумісні.

Розглянемо настeпуну частину прямої

для дискретної випадкової величини простір елементарних подій складається з усіх елементарних , які менші

Тоді за 3 аксіомою Колмогорова отримаємо наступну рівність:

Доведення:

так як події несумісні.

З означення функції розподілу отримаємо .

Ймовірність того, що внаслідок випробування випадкова величина прийме значення, що належить інтервалу дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього півінтервалу.

3) Функція розподілу – неспадна функція.

Із закону великих чисел випливає:

Побудуємо функцію розподілу для дискретної випадкової величини

Читайте також:

1. Абсолютні і відносні величини
2. Абсолютні і відносні статистичні величини
3. Абсолютні, відносні та середні величини.
4. Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
5. Векторні і скалярні величини
6. Векторні і скалярні величини
7. Величини ліміту каси підприємства за три місяці
8. Величини.
9. Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
10. Видатки та заощадження як функції доходу. Автономні величини та їх чинники. Крива планових видатків.
11. Визначення величини зносу направляючих.
12. Визначення величини одноденних витрат окремих видів матеріальних цінностей (у натуральному і грошовому виразі).

Переглядів: 701