• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Двовимірні неперервні випадкові величини

Двовимірною неперервною випадковою величиною звуть дві неперервні випадкові величини, що задаються своїми функціями розподілу і щільності і

Двовимірною функцією розподілу двовимірної величини зветься числова скалярна функція двох дійсних аргументів, яка при фіксованих значеннях аргументів дорівнює ймовірності наставання наступної події.

У цьому випадку простором елементарних подій є вся множина чи область площини. Покажемо, що у можна ставити у будь-якій комбінації.

Примітка! Це узагальнення властиве

Розглянемо (*)

Аналогічно знімається і друге .

Самим довести, що можна ставити як і , так і

Двовимірна неперервна випадкова величина зветься абсолютно неперервною (далі неперервною), якщо існує така числова скалярна функція двох дійсних аргументів, що задовольняє наступній інтегральній рівності:

Примітка! У двовимірних функціях розподілу і щільності перший аргумент – перша випадкова величина, другий дійсний аргумент – друга випадкова величина.

Якщо поміняти місцями, то у функціях розподілу і щільності треба місцями поміняти аргументи.

Двовимірна функція щільності є непевною функцією чи кусково-неперервною з обмеженою кількістю розривів першого роду.

Властивості двовимірної функції розподілу:

1) Невід’ємна

2) Є монотонно неспадною по будь-якій множині своїх аргументів.

Примітка! Використати наступне якщо , то

3) Якщо хоча б один аргумент дорівнює , то функція розподілу дорівнює 0.

4) Якщо обидва аргументи дорівнюють , то функція розподілу дорівнює 1.

Властивості двовимірної функції щільності:

1) Функція щільності – невід’ємна.(Випливає з 2 властивості двовимірної функції розподілу)

2)

3) Нехай в області , що належить і має не нульову площу (має внутрішні точки) і в області функція щільності неперервна, тоді для будь-якої внутрішньої точки інтегральна нерівність еквівалентна:

Ймовірність не зміниться, якщо поставити і . Отримаємо наступну властивість:

4) . З властивості 4 випливає властивість 5.

5)

Довести самим, що інколи область дозволяє подвійний інтеграл звести до його двократного.

Приклад. Знайдемо ймовірності наставання події:

Умовна щільність

Ця формула є аналогом формули:

В якості умовної щільності приймається вираз:

Беремо події

Тоді Самими поділити чисельник на знаменник і отримати результат

Введемо по аналогії з дискретним випадком умовне математичне сподівання і умовну дисперсію неперервних випадкових величин. Отримаємо чотири формули:

Примітка!

Зміст той самий, що і для дискретного випадку.

Маємо двовимірну функцію щільності Знайдемо

З рівності інтегралів не випливає рівність підінтегральних виразів, тому що у нашому випадку випадку у нас нескінченна кількість інтегралів. Для неперервних чи кусково-неперервних це можливо, бо

Таким чином отримали результат: щоб отримати функцію щільності випадкової величини по двовимірній функції щільності треба двовимірну функцію щільності про інтегрувати по нескінченним границям по змінній, що відповідає другій випадковій величині.

Дискретні випадкові величини і звуться незалежними, якщо

. Показати самим, що у цьому випадку

Але якщо випадкова величина породжена першим випробуванням, а друга величина – другим, а самі прості випробування незалежні, то показати самим, що і також незалежні.

Примітка! Повторити один до одного розділ «Композиція двох незалежних випроьувань» як частковий випадок:

Незалежні двовимірні випадкові величини

і незалежні неперервні двовимірні випадкові величини, якщо їх двовимірна функція щільності дорівнює добутку їх двовимірної функції розподілу, тобто

Примітка! Якщо двовимірна функція щільності є неперервна, то

Дійсно,

Показати самим, що у цьому випадку:

а) умовна функція щільності дорівнює безумовній.

б) Умовне математичне сподівання дорівнює безумовному.

в) Умовна дисперсія дорівнює безумовній.

Покажемо, що якщо породжуються незалежними випробуваннями, то – незалежні З результатів розділу «Композиція двох незалежних випробувань» події і є незалежними на площині в просторі елементарних подій композиції двох незалежних випробувань, тоді

, а так як і незалежні, то:

. Звідси випливає, що

Читайте також:

1. Абсолютні і відносні величини
2. Абсолютні і відносні статистичні величини
3. Абсолютні, відносні та середні величини.
4. Багатовимірні випадкові величини. Система двох випадкових величин
5. Векторні і скалярні величини
6. Векторні і скалярні величини
7. Величини ліміту каси підприємства за три місяці
8. Величини.
9. Ве­личи­ни та її вла­с­ти­во­с­ті. Дискретні випадкові величини та їх розподіли
10. Видатки та заощадження як функції доходу. Автономні величини та їх чинники. Крива планових видатків.
11. Визначення величини зносу направляючих.
12. Визначення величини одноденних витрат окремих видів матеріальних цінностей (у натуральному і грошовому виразі).

Переглядів: 1446