• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Закони розподілу неперервної випадкової величини X

Закони розподілу дискретної випадкової величини X

1. Біноміальний розподіл ДВВ X – числа появи події в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких імовірність появи події дорівнює p, а ймовірність можливого значення X = k (числа k появи події в n незалежних випробуваннях) обчислюють за формулою Бернуллі. За умови, коли число випробувань n велике (n ³100), а ймовірність появи подіїp в кожному випробуванні дуже мала (p®0; 0 £ n×p £ 10)то користуються наближеною формулою P_n(k) = ( ) / k! , де l – середнє число появи події в nвипробуваннях (l= n×p = const).

2. Розподіл Пуассона визначає імовірність появи k подій за проміжок часу t, тобто є математичною моделлю найпростішого потоку подій. Потік подій – послідовність подій, які наступають у випадкові моменти часу. Пуассонівський потік має такі три властивості: 1) стаціонарність – імовірність появи k подій за проміжок часу t є функція, яка залежить тільки від k і t, але не залежить від початку відліку часу; 2) відсутність післядії – імовірність появи k-ої події за будь-який проміжок часу t не залежить від того, з’являлися або не з’являлися події в моменти часу, які передували початку даного проміжку (передісторія потоку не впливає на ймовірність появи подій в найближчим майбутнім); 3) ординарність – поява двох або більш подій за малий проміжок часу практично неможливий. Імовірність появи k подій простішого потоку за проміжок часу t визначається формулою Пуассона:

P_t(k) = (lt)^k × / k! ,

де l – інтенсивність потоку (середнє число подій, які з’являються в одиницю часу).

1. Рівномірний розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, якщо на інтервалі (а, в), якому належать всі можливі значення X, диференціальна функція зберігає постійне значення, а саме

f (x) = = const,

а зовні цього інтервалу, тобто для x < а і для x > в, маємо f (x) = 0.

Інтегральна функція рівномірного розподілу має вигляд:

F(x) = 0, при x £ а ; F(x) = (x – a) / (b – a) при а < x £ b; F(x) = 1 при x > b.

2. Показниковий (експоненціальний) розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, яке описується диференціальною функцією

f (x) =

де l – постійна додатна величина.

Інтегральна функція показникового розподілу має вигляд:

F(x) =

Імовірність попадання в в інтервал (а, в) неперервної випадкової величини X, розподіленої за показниковим законом

P (а <X <в) = .

3. Нормальний розподіл – розподіл імовірностей НВВ X, якщо диференціальна функція має вигляд

f (x) = ,

де а – математичне сподівання; – середнє квадратичне відхилення випадкової величини X. Якщо нормальний розподіл має параметри а = 0 та =1, то маємо нормалізований нормальний розподіл:

f (x) = 1/ × exp (– x²/2) .

Імовірність того, що X прийме значення, що належить інтервалу ( ) визначається співвідношенням

P ,

де F (x) = – функція Лапласа.

Імовірність того, що абсолютна величина відхилення менше додатнього числа >0 така

P .

Покладемо d/s = t, тоді будемо мати

P .

Це означає, що значення подвоєної функції Лапласа при заданому t визначає ймовірність того, що відхилення (X – a) нормально розподіленої випадкової величини X за абсолютною величиною буде менше st . Зокрема, при а = 0 слушна рівність

P .

Наведемо графік нормальної (гауссової) кривої, отриманої автором у праці [10].

Рис.1. Гістограма (1) і нормальна крива (2), що побудована за (завдання №16)

Числові характеристики випадкових величин (основні параметри теоретичного розподілу).

Нехайx_i ,i – можливі значення ДВВ, p_i – відповідні їм імовірності, тоді характеристикою середнього значення випадкової величини X служить математичне сподівання (генеральна середня):

m º M (X) =.

Властивості M (X) для ДВВ і для НВВ:

M (С) = С, де С = const;

M (X₁ + X₂+…+ X_n) = M (X₁) + M (X₂) + …+ M (X_n);

M (X₁ × X₂ × …× X_n) = M (X₁) × M (X₂) …× M (X_n);

Математичне сподівання біноміального розподілу:

M (X) = n × p,

де n – число випробувань, p – імовірність появи події в одному випробуванні.

Для НВВ X Î (-¥, ¥) або X Î [а, в ], диференціальна функція якої f (x) маємо відповідно:

M (X) =f(x) dx; M (X) =f(x) dx.

Можна довести, що для X, заданої диференціальною функцією f (x) ³ 0 на відрізку [а, в], а зовні відрізку f (x) = 0, виконується а £ M (X) £ в.

Генеральна дисперсія (розсіяння, розкид) D_г випадкової величини X – математичне сподівання квадрату відхилення:

D_г º D (X) = M [X – M (X)]² º M (X²) – [M (X)]² ; D (X) =

= (x – M (X))²f (x) dx º x²f (x) dx – [M (X)]² ;

D (X) = (x – M (X))²f (x) dx,

де можливі значення X Î (–¥, ¥) або X Î (а, в).

Властивості дисперсії:

D (X) ³ 0; D (С) = 0; D (СX) = С²D (X); D (X ±Y) = D (X) + D (Y),

де X і Y – довільні незалежні випадкові величини. Розмірність (Dim) дисперсії дорівнює квадрату розмірності X. Дійсно, якщо X – випадкова сила F, то Dim X º Dim F = Н (Ньютон), то D (X) має розмірність Dim D (X) = Dim M [X – M (X)]² = Н². Ось чому уводиться поняття – середнє квадратичне відхилення

s (X) =, де s² = D_г.

Теоретичний початковий момент порядку kвипадкової величини X – математичне сподівання величини X^k:

n_k = M (X^k).

Зокрема, початковий момент першого порядку

n₁ = M (X).

Центральний моментпорядку kвипадкової величини X – математичне сподівання величини: [X – M (X)]^k :

m_k = M [ X – M (X)]^k.

Зокрема, m₁ = M [ X – M (X)] = 0,

m₂ = M [ X – M (X)]² = D (X); m₂ = n₂ – .

Для НВВ:

n_k = x^k f (x) dx ; m_k = (x – M (X))^k f (x) dx .

Інші характеристики НВВ X:

Мода Мo(X) можливе значення x₀ Î X, якому відповідає max диференціальної функції f (x).

Медіана Мd(X) – те можливе значення x_e Î X, яке визначається рівністю:

P (X < М_e(X)) = P (X > М_e(X)).

Іншими словами, медіана тлумачиться як точка x_e, в якій ордината f (x_е) поділяє наполовину площу, яка обмежена кривою розподілу.

Читайте також:

1. I. Доповнення до параграфу про точкову оцінку параметрів розподілу
2. IV. Закони ідеальних газів.
3. Абсолютні і відносні величини
4. Абсолютні і відносні статистичні величини
5. Абсолютні, відносні та середні величини.
6. Авоматизація водорозподілу регулювання за нижнім б'єфом з обмеженням рівнів верхнього б'єфі
7. Автоматизація водорозподілу з комбінованим регулюванням
8. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
9. Автоматизація водорозподілу регулювання зі сталими перепадами
10. Автоматизація водорозподілу регулюванням з перетікаючими об’ємами
11. Автоматизація водорозподілу регулюванням за верхнім б'єфом
12. Автоматизація водорозподілу регулюванням за нижнім б'єфом

Переглядів: 1168