МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Відношення еквівалентностіВідношення Розглянемо декартовий добуток другого степеня множини Х: Х2 = Х ´ Х. Довільну підмножину R множини Х2 (R Í Х2) будемо називати бінарним відношенням (або просто відношенням), заданим на множині Х. Вважатимемо, що впорядковані елементи x, х' Î Х знаходяться між собою у відношенні R, коли (x, х') Î R. Якщо на Х задано відношення R Í X 2, то запис x R х' означає, що x і х' знаходяться у відношенні R, тобто(x, х') Î R. Розглянемо кілька прикладів відношень: 1) на множині N відношення £ . Ясно, що впорядковані пари (3, 7) і (5, 5) належать цьому відношенню, а пара (4, 1) не належить; 2) на множині Р(Х) всіх підмножин множини Х = {1, 3, 5, 7, 9} відношення Í. Пари підмножин ({1, 3}, {1, 3, 9}) і ({5, 7, 9}, {5, 7, 9}) належать цьому відношенню, а пара підмножин ({1, 5, 7}, {3, 5, 9}) не належить. Відношення R на множині X називається: 1) рефлективним, якщо довільний елемент множини знаходиться у відношенні сам з собою, тобто для будь-якого х Î Х виконується х R х. Прикладами рефлективних відношень можуть бути ≤, ≥, = на множині натуральних чисел; 2) антирефлективним, якщо для будь-якого х Î Х пара (х, х) не належить до відношення R. Прикладами антирефлективних відношень можуть бути <, >, ≠ на множині раціональних чисел; 3) симетричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' випливає х' R x; 4) антисиметричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' і х' R x, випливає x = х' (наприклад, £ на N, тому що з x £ х' і х' £ x випливає х= х'); 5) транзитивним, якщо для довільних x, х', х'' Î Х з того, що x R х' і х' R х'', випливає x R х'' (наприклад, відношення Í на множині Р(Х) чи відношення £ на множині N). Наведемо деякі приклади відношень: 1) R = {(x, х') | x, х' Î Q, | x - х' | £ 2007} Відношення рефлективне, бо для будь-якого xÎQвиконується нерівність | x - х | £ 2007 Відношення не є антирефлективним, бо скажімо для елемента x=5ÎQ нерівність | x - х | £ 2007 виконується. Відношення є симетричним, бо для довільних x, х' Î Q, з нерівності | x - х' | £ 2007 випливає нерівність | x' - х | £ 2007 Відношення не є антисиметричним, бо для різних елементів x=7 та x'=5 з множини Q одночасно виконуються нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - х | £ 2007 Відношення не є транзитивним, бо для елементів x=2010, x'=1 та x''=10 з множини Q нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - x'' | £ 2007 виконуються, а нерівність | x - х'' | £ 2007 не виконується. 2) R = {(x, y) | x, y Î С, якщо |x| £ |y| £ |y2|}
Розглянемо далі відношення, які мають особливе значення. ВідношенняR називається відношенням еквівалентності, якщо воно має такі властивості: а) рефлективності: (x, х) Î R при будь-якому х Î Х; б) симетричності: з (x1, х2) Î R випливає (x2, х1) Î R; в) транзитивності: якщо (x1, х2) Î R і (x2, х3) Î R, то (x1, х3) Î R; Замість того, щоб писати (x1, х2) Î R, часто пишуть x1 ~ x2 або x1 º x2(mod R) (читається так: x1 конгруентно x2 за модулем R) чи, простіше, (x1 ~ x2 або x1 º x2, якщо немає необхідності ще раз вказувати, що мова йде про одне й те саме відношення R). Приклади: 1)°Визначимо на множині цілих чисел Z відношення еквівалентності так, що рºq, тоді і тільки тоді, коли p - q ділиться без остачі на деяке наперед задане натуральне число m >1, скажімо m=5. У теорії чисел таке відношення записується у вигляді р º q(mod т). 2)°Нехай Х - множина прямих на площині. Визначимо відношення еквівалентності для прямих x1 іx2, покладаючи x1 º x2, коли ці прямі паралельні. 3) Нехай Х – множина всіх студентів, які присутні на лекції з дискретної математики. Два студенти еквівалентні, якщо вони народилися в тому самому місяці року. Для x Î X позначимо через K(x)підмножину, що складається з елементів, еквівалентних x, тобто K(x) = {y | y Î X; y ~ x}. Таку підмножину будемо називати класом еквівалентності. Зрозуміло, що клас еквівалентності є множиною всіх елементів, еквівалентних довільному елементу з цього класу. Справедлива наступна теорема: Теорема 1. Два класи еквівалентності або не перетинаються або співпадають. Доведення. Припустимо, що перетин множин K(x)і K(х')непорожній, і візьмемо z Î K(x) Ç K(х'). Клас еквівалентності K(x) утворений з елементів, еквівалентних одному зі своїх елементів x. Оскільки x і z еквівалентні, то за властивістю транзитивності отримуємо, що K(x) утворений також з елементів, еквівалентних z. Аналогічно K(х') утворений з елементів, еквівалентних z. Таким чином, K(х) і K(х') співпадають. Відношення еквівалентності на множині Х породжує деяке розбиття множини Х, тобто деяку сім’ю непорожніх підмножин множини X (класів еквівалентності), які попарно не перетинаються,а їхоб’єднання рівне X. Будь-які два елементи з одного класу зв’язані відношенням еквівалентності, тобто еквівалентні;з різних класів - не еквівалентні. Навпаки, будь-яке розбиття множини X: Х =, де Xj непорожні і попарно не перетинаються, визначає деяке відношення еквівалентності, а саме x º х', якщо існує такий індекс j Î J, що x,х' Î Xj. У цьому випадку підмножини Xj є класами еквівалентності для цього відношення. Читайте також:
|
||||||||
|