• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Відношення еквівалентності

Відношення

Розглянемо декартовий добуток другого степеня множини Х: Х² = Х ´ Х. Довільну підмножину R множини Х² (R Í Х²) будемо називати бінарним відношенням (або просто відношенням), заданим на множині Х. Вважатимемо, що впорядковані елементи x, х' Î Х знаходяться між собою у відношенні R, коли (x, х') Î R. Якщо на Х задано відношення R Í X ², то запис x R х' означає, що x і х' знаходяться у відношенні R, тобто(x, х') Î R.

Розглянемо кілька прикладів відношень:

1) на множині N відношення £ . Ясно, що впорядковані пари (3, 7) і (5, 5) належать цьому відношенню, а пара (4, 1) не належить;

2) на множині Р(Х) всіх підмножин множини Х = {1, 3, 5, 7, 9} відношення Í. Пари підмножин ({1, 3}, {1, 3, 9}) і ({5, 7, 9}, {5, 7, 9}) належать цьому відношенню, а пара підмножин ({1, 5, 7}, {3, 5, 9}) не належить.

Відношення R на множині X називається:

1) рефлективним, якщо довільний елемент множини знаходиться у відношенні сам з собою, тобто для будь-якого х Î Х виконується х R х. Прикладами рефлективних відношень можуть бути ≤, ≥, = на множині натуральних чисел;

2) антирефлективним, якщо для будь-якого х Î Х пара (х, х) не належить до відношення R. Прикладами антирефлективних відношень можуть бути <, >, ≠ на множині раціональних чисел;

3) симетричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' випливає х' R x;

4) антисиметричним, якщо для довільних x, х' Î Х з того, що x R х' і х' R x, випливає x = х' (наприклад, £ на N, тому що з x £ х' і х' £ x випливає х= х');

5) транзитивним, якщо для довільних x, х', х'' Î Х з того, що x R х' і х' R х'', випливає x R х'' (наприклад, відношення Í на множині Р(Х) чи відношення £ на множині N).

Наведемо деякі приклади відношень:

1) R = {(x, х') | x, х' Î Q, | x - х' | £ 2007}

Відношення рефлективне, бо для будь-якого xÎQвиконується нерівність | x - х | £ 2007

Відношення не є антирефлективним, бо скажімо для елемента x=5ÎQ нерівність | x - х | £ 2007 виконується.

Відношення є симетричним, бо для довільних x, х' Î Q, з нерівності | x - х' | £ 2007 випливає нерівність | x' - х | £ 2007

Відношення не є антисиметричним, бо для різних елементів x=7 та x'=5 з множини Q одночасно виконуються нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - х | £ 2007

Відношення не є транзитивним, бо для елементів x=2010, x'=1 та x''=10 з множини Q нерівності | x - х' | £ 2007 та | x' - x'' | £ 2007 виконуються, а нерівність | x - х'' | £ 2007 не виконується.

2) R = {(x, y) | x, y Î С, якщо |x| £ |y| £ |y²|}

Розглянемо далі відношення, які мають особливе значення.

ВідношенняR називається відношенням еквівалентності, якщо воно має такі властивості:

а) рефлективності: (x, х) Î R при будь-якому х Î Х;

б) симетричності: з (x₁, х₂) Î R випливає (x₂, х₁) Î R;

в) транзитивності: якщо (x₁, х₂) Î R і (x₂, х₃) Î R, то (x₁, х₃) Î R;

Замість того, щоб писати (x₁, х₂) Î R, часто пишуть x₁ ~ x₂ або x₁ º x₂(mod R) (читається так: x₁ конгруентно x₂ за модулем R) чи, простіше, (x₁ ~ x₂ або x₁ º x₂, якщо немає необхідності ще раз вказувати, що мова йде про одне й те саме відношення R).

Приклади: 1)°Визначимо на множині цілих чисел Z відношення еквівалентності так, що рºq, тоді і тільки тоді, коли p - q ділиться без остачі на деяке наперед задане натуральне число m >1, скажімо m=5. У теорії чисел таке відношення записується у вигляді р º q(mod т).

2)°Нехай Х - множина прямих на площині. Визначимо відношення еквівалентності для прямих x₁ іx_2, покладаючи x₁ º x₂, коли ці прямі паралельні.

3) Нехай Х – множина всіх студентів, які присутні на лекції з дискретної математики. Два студенти еквівалентні, якщо вони народилися в тому самому місяці року.

Для x Î X позначимо через K(x)підмножину, що складається з елементів, еквівалентних x, тобто K(x) = {y | y Î X; y ~ x}. Таку підмножину будемо називати класом еквівалентності. Зрозуміло, що клас еквівалентності є множиною всіх елементів, еквівалентних довільному елементу з цього класу. Справедлива наступна теорема:

Теорема 1. Два класи еквівалентності або не перетинаються або співпадають.

Доведення. Припустимо, що перетин множин K(x)і K(х')непорожній, і візьмемо z Î K(x) Ç K(х'). Клас еквівалентності K(x) утворений з елементів, еквівалентних одному зі своїх елементів x. Оскільки x і z еквівалентні, то за властивістю транзитивності отримуємо, що K(x) утворений також з елементів, еквівалентних z. Аналогічно K(х') утворений з елементів, еквівалентних z. Таким чином, K(х) і K(х') співпадають.

Відношення еквівалентності на множині Х породжує деяке розбиття множини Х, тобто деяку сім’ю непорожніх підмножин множини X (класів еквівалентності), які попарно не перетинаються,а їхоб’єднання рівне X. Будь-які два елементи з одного класу зв’язані відношенням еквівалентності, тобто еквівалентні;з різних класів - не еквівалентні.

Навпаки, будь-яке розбиття множини X: Х =, де X_j непорожні і попарно не перетинаються, визначає деяке відношення еквівалентності, а саме x º х', якщо існує такий індекс j Î J, що x,х' Î X_j. У цьому випадку підмножини X_j є класами еквівалентності для цього відношення.

Читайте також:

1. Аналіз співвідношення активів із джерелами їх фінансування
2. Антонімічні відношення
3. Безрозмірною характеристикою гідротрансформатора називається залежність коефіцієнтів пропорційності моментів насосного і турбінного коліс від його передаточного відношення.
4. Бінарне відношення порядку.
5. Варіанти співвідношення потреб і виробництва
6. Взаємовідношення біологічного, соціального і духовного в людині.
7. Взаємовідношення віри і розуму, філософії та теології у Фоми Аквінського та пізній схоластиці.
8. Взаємовідношення віри і розуму, філософії та теології у Фоми Аквінського та пізній схоластиці.
9. Взаємовідношення ініціатора і реципієнта трансферу технологій
10. Взаємозалежність і співвідношення громадянського суспільства і правової держави.
11. Взаємозалежність і співвідношення громадянського суспільства і правової держави.
12. Види інноваційних стратегій та їх співвідношення

Переглядів: 1359