Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лекція 3 Формула повної ймовірності. Формули Байєса

 

Нехай задані випадкові події Н1, Н2, . . . Нn такі, що виконуються дві умови

1) Н1 + Н 2 + . . . . + Нn = U ;

2) Нj ·Нk = V j ≠ k

Перша з цих умов означає, що за умов даного комплексу хоч одна з подій Нk,

k = 1….n, відбудеться. Друга умова означає, що події Нk попарно несумісні між собою. За виконання умов 1), 2 ) множина подій Н1, Н 2 . . . . Нn називається повною групою подій.

ТеоремаЯкщо Н1, Н 2 . . . . Нn - повна група подій, Р (Нk)> 0 для k= 1, 2,…..n, то для будь-якої випадкової події А виконується рівність

На рис.5 зображена ситуація про яку йдеться в теоремі ( на рисунку n = 4).

 

H1 H2     А H3 H4

 


Рисунок 5

Події АН1, ..... АНn несумісні і в сумі дають подію А, тому використовуючи теореми про ймовірність суми та добутку подій, маємо

Теорему доведено.

 

Приклад

Одну і ту ж деталь виготовляють на трьох верстатах. Ймовірність браку на першому верстаті дорівнює 0,010, на другому – 0,015, на третьому – 0,020. Продуктивність першого верстата у 1,5 рази більша за продуктивність другого, продуктивність третього верстата у 2,5 рази більша за продуктивність другого. Усі деталі складаються до одного ящика. Чому дорівнює ймовірність того, що взята навмання деталь з ящику буде бракованою?

Розв’язування. Розглянемо такі випадкові події:

А – деталь бракована;

Н1- деталь виготовлена на першому верстаті;

Н2 - деталь виготовлена на другому верстаті;

Н3 - деталь виготовлена на третьому верстаті.

Спочатку обчислимо ймовірності Р (Нk). Покладемо Р (Н2) = p. Тоді за умовою маємо, що Р (Н1) = 1,5p; Р (Н 3)= 2,5p. Звідси випливає ( враховуючи, що

Р(Н1) + Р(Н2) +Р(Н3) =1 ) 1,5p + p + 2,5p = 1, тобто 5p =1, p = 0,2. Тому

Р (Н2 ) = p =0,2; P (H1) = 1,5p = 1,5 • 0,2 = 0,3; P (H3) = 2,5 p =2,5 • 0,2 = 0,5.

За умовою задачі Р (А/Н1 ) = 0,010; Р (А/Н2 ) = 0,015; Р (А/Н3) = 0,020.

Тому маємо Р (А ) = Р(Н1) Р (А/Н1 ) + P (H2) Р (А/Н2 ) + +P (H3) Р (А/Н3) = 0,3• 0,010 + 0,2• 0,015 +0,5• 0,020 = 0,016.

 

Іноді у ситуації, про яку сказано в теоремі, відомо, що подія А вже відбулася, і запитується, яка ймовірність того, що при цьому відбулася випадкова подія Нk . Відповідь на це питання дає

Теорема ( формули Байєса).Якщо Н1, Н 2 . . . . Нn - повна група подій,

то

Ця формула зветься ще формулою ймовірності гіпотезвона дає можливість обчислити ймовірність гіпотези Нk за умови, що ми знаємо наслідок А.

Для доведення формули зауважимо, що

Р(А Нk) = Р(А) Р(Нk /А) = Р(Нk) ) Р (А /Нk )

Звідси маємо

Для остаточного доведення формули досить підставити в останню формулу Р (А) її значення за формулою повної ймовірності.

Приклад

Знову розглянемо ситуацію, яка викладена у задачі про три верстати. Відомо, що витягнута деталь – бракована. Яка ймовірність того, що вона виготовлена на третьому верстаті?

Розв’язування. Усі необхідні ймовірності ми вже знаємо (див. попередній приклад). Тому маємо за формулою Байєса

Бачимо, що переважна кількість бракованих деталей виготовлена на третьому верстаті.



Читайте також:

  1. Абсолютні й відносні посилання у формулах
  2. Акціонерні товариства випускають облігації на суму не більше 25 % від розміру статутного капіталу і лише після повної оплати всіх випущених акцій.
  3. Барометрична формула
  4. Барометрична формула. Больцманівський розподіл молекул в
  5. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
  6. Безпосереднє обчислення з використанням формули Ньютона-Лейбніца.
  7. Введення формули в комірку.
  8. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
  9. Вид заняття: лекція
  10. Вид заняття: лекція
  11. Вид заняття: лекція
  12. Вид заняття: лекція




Переглядів: 1191

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Домашнє завдання | Домашнє завдання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.003 сек.