МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Елементарні перетворення рядків матриці
Означення 1.2.1. Будемо розглядати елементарні перетворення рядків матриці першого та другого типів: · зміна місцями двох рядків матриці (перетворення першого типу); · додавання до деякого рядка матриці другого її рядка, який помножений на довільне дійсне число (перетворення другого типу). Теорема 1.2.1. Будь-яку матрицю скінченого розміру за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків можна звести до східчастого вигляду. 4 Виключаємо з розгляду нульову матрицю та матрицю-рядок. Для цих матриць твердження теореми вірно. Нехай А – матриця розміру , що містить хоч один ненульовий елемент, а внаслідок цього хоч один ненульовий рядок. Виберемо з ненульових рядків такий, в якому перший ненульовий елемент розташовано у стовпчику з найменшим номером. Позначимо цей номер через . Перенесемо означений рядок на перше місце, при цьому ми зробили елементарне перетворення першого типу. Тоді матриця А перетвориться на матрицю: . Відзначимо, що (зауважимо, що при нульові стовпчики у матриці В відсутні). Застосуємо далі до матриці В елементарні перетворення другого типу: до другого рядка матриці додамо перший, помножений на ; до третього рядка додамо перший, помножений на число і т. д. Наприкінці одержимо матрицю С. У стовпчику з номером матриці С усі елементи за винятком першого – нульові: . Якщо з’ясується, що матриця – вже є східчастою, то теорема доведена. У іншому випадку виключаємо з розгляду перший рядок матриці та застосовуємо до отриманої матриці описані вище дії. Зрозуміло, що вихідна матриця після скінченого числа тих самих елементарних перетворень, які виконувалися над матрицею , буде приведена до вигляду: . Якщо матриця не є східчастою, тоді виключаємо з розгляду два її перші рядки та до одержаної матриці знов застосовуємо вищеозначені дії. Після цих перетворень вихідна матриця буде приведена до вигляду . Очевидно, що після скінченого числа описаних вище елементарних перетворень матриця А буде зведена до східчастого вигляду.3 Приклад. За допомогою елементарних перетворень рядків звести матрицю до східчастого вигляду. Розв’язання.Виконуємо спочатку елементарне перетворення першого типу, а саме змінюємо місцями перший та другий рядки матриці .
Далі виконуємо зазначені нижче перетворення другого типу:
.
Отримана матриця В є східчастою. Теорема 1.2.2. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків, то і від матриці В до матриці А можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків. 4Спочатку доведемо цю теорему для випадку одного елементарного перетворення рядків матриці. Якщо матриця В одержана з матриці А після переставлення двох рядків матриці А, то зрозуміло, що змінивши місцями ці два рядки в матриці В, отримаємо вихідну матрицю А. Припустимо далі, що i-тий рядок матриці В одержали з i-го та k-го рядків матриці А після такого перетворення другого типу:
(i-тий рядок В) = (i-тий рядок А) + l (k-тий рядок А). Усі рядки матриці В, крім i-го, збігаються з відповідними рядками матриці А. Зробимо елементарне перетворення другого типу над рядками матриці В:
(i-тий рядок В) – l (k-тий рядок В) = (i-тий рядок А).
Після цього одержимо матрицю А, бо усі рядки матриці В за винятком i-го збігаються з відповідними рядками матриці А.Таким чином, якщо перехід від А до В зроблено за допомогою одного елементарного перетворення рядків матриці А, то і від В до А можна перейти за допомогою одного перетворення рядків. Розглянемо далі загальний випадок. Нехай від матриці А до матриці В перейшли після n елементарних перетворень .
На підставі доведення теореми для випадку одного елементарного перетворення можна стверджувати, що має місце зворотний перехід від А до В:
.3
Читайте також:
|
||||||||
|