Елементарні перетворення рядків матриці

Означення 1.2.1. Будемо розглядати елементарні перетворення рядків матриці першого та другого типів:

· зміна місцями двох рядків матриці (перетворення першого типу);

· додавання до деякого рядка матриці другого її рядка, який помножений на довільне дійсне число (перетворення другого типу).

Теорема 1.2.1. Будь-яку матрицю скінченого розміру за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків можна звести до східчастого вигляду.

4 Виключаємо з розгляду нульову матрицю та матрицю-рядок. Для цих матриць твердження теореми вірно.

Нехай А – матриця розміру , що містить хоч один ненульовий елемент, а внаслідок цього хоч один ненульовий рядок. Виберемо з ненульових рядків такий, в якому перший ненульовий елемент розташовано у стовпчику з найменшим номером. Позначимо цей номер через . Перенесемо означений рядок на перше місце, при цьому ми зробили елементарне перетворення першого типу. Тоді матриця А перетвориться на матрицю:

Відзначимо, що (зауважимо, що при нульові стовпчики у матриці В відсутні).

Застосуємо далі до матриці В елементарні перетворення другого типу: до другого рядка матриці додамо перший, помножений на ; до третього рядка додамо перший, помножений на число і т. д. Наприкінці одержимо матрицю С. У стовпчику з номером матриці С усі елементи за винятком першого – нульові:

Якщо з’ясується, що матриця – вже є східчастою, то теорема доведена. У іншому випадку виключаємо з розгляду перший рядок матриці та застосовуємо до отриманої матриці описані вище дії. Зрозуміло, що вихідна матриця після скінченого числа тих самих елементарних перетворень, які виконувалися над матрицею , буде приведена до вигляду:

Якщо матриця не є східчастою, тоді виключаємо з розгляду два її перші рядки та до одержаної матриці знов застосовуємо вищеозначені дії. Після цих перетворень вихідна матриця буде приведена до вигляду

Очевидно, що після скінченого числа описаних вище елементарних перетворень матриця А буде зведена до східчастого вигляду.3

Приклад. За допомогою елементарних перетворень рядків звести матрицю

до східчастого вигляду.

Розв’язання.Виконуємо спочатку елементарне перетворення першого типу, а саме змінюємо місцями перший та другий рядки матриці

Далі виконуємо зазначені нижче перетворення другого типу:

Отримана матриця В є східчастою.

Теорема 1.2.2. Якщо від матриці А до матриці В можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків, то і від матриці В до матриці А можна перейти за допомогою скінченого числа елементарних перетворень рядків.

4Спочатку доведемо цю теорему для випадку одного елементарного перетворення рядків матриці. Якщо матриця В одержана з матриці А після переставлення двох рядків матриці А, то зрозуміло, що змінивши місцями ці два рядки в матриці В, отримаємо вихідну матрицю А. Припустимо далі, що i-тий рядок матриці В одержали з i-го та k-го рядків матриці А після такого перетворення другого типу:

(i-тий рядок В) = (i-тий рядок А) + l (k-тий рядок А).

Усі рядки матриці В, крім i-го, збігаються з відповідними рядками матриці А. Зробимо елементарне перетворення другого типу над рядками матриці В:

(i-тий рядок В) – l (k-тий рядок В) = (i-тий рядок А).

Після цього одержимо матрицю А, бо усі рядки матриці В за винятком i-го збігаються з відповідними рядками матриці А.Таким чином, якщо перехід від А до В зроблено за допомогою одного елементарного перетворення рядків матриці А, то і від В до А можна перейти за допомогою одного перетворення рядків.

Розглянемо далі загальний випадок. Нехай від матриці А до матриці В перейшли після n елементарних перетворень

На підставі доведення теореми для випадку одного елементарного перетворення можна стверджувати, що має місце зворотний перехід від А до В:

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
ТРИГЕРИ	\|	Розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.018 сек.