• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Правило Крамера

Розглянемо визначник -го порядку

.

Будемо розкладати його за елементами -го стовпчика, отримаємо

.

Після заміни у одержаному розкладі чисел іншими числами , маємо суму

.

Цій сумі відповідає визначник

,

який отримано з визначника заміною елементів -го стовпчика числами . Якщо замість чисел взяти елементи якого-небудь іншого стовпчика визначника , що відмінний від -го стовпця, то визначник буде дорівнювати нулю, оскільки він містить два однакових стовпчика. Таким чином доведена лема.

Лема 2.6.1.Сума добутків алгебраїчних доповнень елементів будь-якого стовпця (рядка) визначника на відповідні елементи іншого стовпця (рядка) дорівнює нулю

.

Розглянемо далі систему n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими

(6.1)

Отримаємо явні вирази для розв’язків системи (6.1) через коефіцієнти цієї системи та вільні члені у припущенні, що визначник системи (визначник її матриці) відмінний від нуля.

Теорема 2.6.1(правило Крамера).Якщо визначник системилінійних алгебраїчних рівнянь (6.1)

.

(відмінний від нуля), то система має єдиний розв’язок, тобто є сумісною та означеною. Цей розв’язок визначається за правилом Крамера:

, , … , , (6.2)

де – визначник, який отримано з визначника після заміни -го стовпця стовпчиком вільних членів.

4 Спочатку доведемо, що при система (6.1) має єдиний розв’язок. Розширену матрицю системи (6.1) за допомогою скінченого числа елементарних перетворень її рядків приведемо до східчастого вигляду (теорема 1.2.1). При цьому матриця А системи (6.1), що складається з коефіцієнтів при невідомих, також буде приведена до східчастого вигляду С. За умовою теореми визначник матриці А системи . Згідно з властивостями 3 та 9 визначника при одному елементарному перетворенні рядків визначника його модуль не змінюється. Звідки виходить, що визначник східчастої матриці С не дорівнює нулю, оскільки його модуль дорівнює , а . Таким чином, східчаста матриця С має верхній трикутний вигляд:

,

причому . Дійсно, за формулою (3.6) визначник цієї матриці дорівнює добутку і, як було показано вище, є відмінним від нуля. Звідки виходить, що усі множники у добутку, що розглядається, відмінні від нуля.

Система рівнянь з матрицею східчастого вигляду

,

як відомо, еквівалентна вихідній системи (6.1). Але ця система рівнянь має, очевидно, єдиний розв’язок, оскільки , де – кількість ненульових рядків у східчастій матриці . Таким чином, система (6.1), також має єдиний розв’язок.

Тепер переходимо до доведення формул (6.2). Помножимо перше рівняння системи (6.1) на , друге на , …, а останнє на та додамо один до одного отримані рівняння, у підсумку будемо мати таке рівняння

.

За лемою 2.6.1 множники при дорівнюють нулю. Множник при за теоремою 2.5.2 (про розкладання визначника за рядком) дорівнює , а вільний член рівняння – це визначник

.

Таким чином, маємо . Звідки, враховуючи, що , виходить . Аналогічним чином можна показати, що , … , .3

Наслідок з теореми 2.6.1. Якщо система однорідних лінійних рівнянь з невідомими

має хоч один нетривіальний розв’язок, то її визначник дорівнює нулю.

4Припустимо супротивне, що визначник цієї однорідної системи не дорівнює нулю і при цьому система має нетривіальний розв’язок. Згідно з теоремою 2.6.1 при система має єдиний розв’язок (6.2), який є нульовим, і таким чином ненульових розв’язків не має. Прийшли до суперечності.3

Читайте також:

1. Аверсивную терапію використовують, як правило, при лікуванні алкоголізму, нікотиновій залежності і деяких інших захворювань.
2. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
3. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
4. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
5. Гарантії реалізації конст прав і свобод в ЗК. Правило Міранди,Мандамус,habeas corpus.
6. До основних засобів, як правило, не належать
7. Зайнятість – це ді-сть громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що, як правило, приносить їм дохід у грошовій або іншій формі.
8. Зайнятість – це діяльність громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що , як правило, приносить дохід у грошовій формі.
9. Заробітна плата – це винагорода, обчислена, як правило, у грошовому виразі, яку за трудовим договором власник або уповноважений ним орган виплачує працівникові за виконану роботу.
10. Золоте» правило інвестування.
11. І ми пам’ятаємо правило: Від живого споглядання до абстрактного мислення, і від нього до практики – такий є діалектичний шлях пізнання об’єктивної реальності.
12. Істотними умовами договору купівлі-продажу за загальним правилом є умови щодо предмету.

Переглядів: 529