• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Ється виродженою ( або особливою), якщо її визначник А дорів-нює нулю.

Означення3. Матриця А⁻¹ називається оберненою мат-

рицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо викону-ються рівності AA⁻¹ = A⁻¹ A = E .

ТЕОРЕМА. Якщо матриця А n−го порядку невиродже-

на, то для неї існує обернена матриця А^-1.

Доведення. Нехай задано квадратну невироджену матрицюА,тобто її визначник А ≠ 0.

a11	a12	...	a1n
a		a		...	a
				2n
...	...	...	...
A =		ai 2	...			.
ai 1	ain
...	...	...	...
		an2
an1	...	ann

Розглянемо іншу матрицю

де A_ij - алгебраїчні доповнення елементів a_ij матриці A. Знайдемо добуток АВ:

Кожен елемент c_ij матриці С дорівнює

c_ij = a_{i 1} A_j1 + a_{i 2} A_{j 2} + ... + a_in A_jn .

A_n1

^An2 _{= C .}

...

^Ann

Якщо i ≠ j , то маємо вираз, який є сумою добутків елементів

і-го рядка на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка визна-чника матриці А. За теоремою анулювання ця сума дорівнює нулю.

Якщо i = j , то вираз c_iі = a_{i 1}A_{i 1} + a_{i 2}A_{i 2} + ...+ a_inA_in представ-ляє собою суму добутків елементів довільного рядка на відповідні алгебраїчні доповнення цього рядка визначника матриці А. За тео-

ремою Лапласа така величина дорівнює визначнику матриці А( А ).

Тобто матриця С має вигляд:

Якщо кожен елемент цієї матриці С розділити на А (тобто

помножити її на _А¹), то одержимо одиничну матрицю Е , тобто

Це доводить теорему.

Отже, обернена матриця має вигляд:

Дамо схему знаходження оберненої матриці для заданої квадратної невиродженої матриці.

1. Обчислимо визначник матриці A( A).

2. Транспонуємо матрицю A , тобто одержуємо матрицю:

	a11	a21	...	an1
T	a		a		...	a	n2
А	=				.
	...	...	... ...
	a1n	a2n	...	ann

3. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента тран-спонованої матриці А^Т і запишемо їх у вигляді матриці А^П :

буде оберненою:

елементів транспонованої матриці, називається приєднаною ( або союзною)до матриціA.

Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд

A^П ,якщо транспонувати матрицю,складену із алгебраїчних до-повнень елементів матриці A .

Приклад 1.Знайти обернену матрицю для матриці

і показати, що AA⁻¹ = A⁻¹A = E . Розв’язування. Визначник цієї матриці

Обернена матриця А^-1 для заданої матриці А має вигляд

Легко перевірити,що

Приклад 2.Знайти обернену матрицю для матриці

Розв’язування. Обчислимо визначник цієї матриці:

Оскільки A = 0 , тобто матриця A вироджена, то оберненої

для неї не існує.

Зауваження 2. Квадратна невироджена матриця другого по-

a

рядку A = ¹¹

^a21

мулою : A^{− 1} =

Приклад 3.Знайти обернену матрицю до матриці

Розв’язування. Задана квадратна матриця другого порядку не-вироджена, оскільки її визначник

^{3 4} = 3 ⋅ 5 − 4 ⋅ 1 = 15 − 4 = 11 ≠ 0 ,

1 5

тому обернена до матриці A існує і її можна знайти за попередньою формулою:

A^{− 1} = ¹ ₋⁵₁ ⁻₃⁴ .

11

Читайте також:

1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
2. D-петля, що складається з 8–12 залишків, декілька з яких – дигідроуридинові.
3. ReM – модифікований критерій Рейнольда, який визначається за формулою
4. V Розвиток кожного нижчого рівня не припиняється з розвитком вищого.
5. А середній коефіцієнт росту в такому випадку визначається як
6. Абсолютна величина числа позначається символом .
7. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
8. Аваль виражається словами
9. Акт експертизи підписується кожним експертом і засвідчується печаткою медичної установи, на базі якої проводилася судово-психіатрична експертиза.
10. Акт за формою Н11 або НПВ складається відповідно до акта спе1
11. Активний бюджетний дефіцитхарактеризу­ється спрямуванням коштів на інвестування еко­номіки, що сприяє зростанню ВВП.
12. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .

Переглядів: 622