Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Ється виродженою ( або особливою), якщо її визначник А дорів-нює нулю.

Означення3. Матриця А1 називається оберненою мат-

 

рицею для квадратної невиродженої матриці А, якщо викону-ються рівності AA1 = A1 A = E .


 


ТЕОРЕМА. Якщо матриця А nго порядку невиродже-

на, то для неї існує обернена матриця А-1.

 

Доведення. Нехай задано квадратну невироджену матрицюА,тобто її визначник А0.

a11 a12 ... a1n    
a a ... a      
        2n  
... ... ... ...    
A =   ai 2 ...     .  
ai 1 ain  
... ... ... ...    
    an2          
an1 ... ann  

Розглянемо іншу матрицю

A11 A21 ... Ai 1 ... An1  
A A ... A ... A  
В = 12   i 2   n2 ,
... ... ... ... ... ...  
A1n A2n ... Ain ... Ann  

де Aij - алгебраїчні доповнення елементів aij матриці A. Знайдемо добуток АВ:


a11 a12 ... a1n   A A ... A ...  
  a   a   ... a      
  2n   i 1    
      ...   A A ... A ...  
AВ = ... ... ...   i 2    
ai 1 ai 2 ... ain ... ... ... ... ...  
... ... ... ...A1n A2n ... Ain ...  
a n1 a n2 ... a nn              
                       
                               

Кожен елемент cij матриці С дорівнює

 

cij = ai 1 Aj1 + ai 2 Aj 2 + ... + ain Ajn .


 

An1

An2 = C .

...

Ann


 

Якщо ij , то маємо вираз, який є сумою добутків елементів

 

і-го рядка на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка визна-чника матриці А. За теоремою анулювання ця сума дорівнює нулю.

 

Якщо i = j , то вираз ciі = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + ...+ ainAin представ-ляє собою суму добутків елементів довільного рядка на відповідні алгебраїчні доповнення цього рядка визначника матриці А. За тео-

ремою Лапласа така величина дорівнює визначнику матриці А( А ).


 

 


Тобто матриця С має вигляд:

 

    А     ...      
       
             
    А   ...  
С =         .  
... ... ...      
    ...  
      ...   А      
         
                         
                     

Якщо кожен елемент цієї матриці С розділити на А (тобто

помножити її на А1), то одержимо одиничну матрицю Е , тобто

E = С =   А В = А   В = А А 1 .  
А   А   А  
             

 

Це доводить теорему.

 

Отже, обернена матриця має вигляд:

          А11 А21 ... Аn1    
А 1 =     A A ... A    
        n2 .  
    А     ... ... ... ...    
       
            A2n        
             
          A1n ... Ann  

Дамо схему знаходження оберненої матриці для заданої квадратної невиродженої матриці.

1. Обчислимо визначник матриці A( A).

 

2. Транспонуємо матрицю A , тобто одержуємо матрицю:

a11 a21 ... an1    
T a a ... a n2    
А =       .  
  ... ... ... ...    
  a1n a2n ... ann    

3. Знаходимо алгебраїчні доповнення кожного елемента тран-спонованої матриці АТ і запишемо їх у вигляді матриці АП :

          A11 A21 ... An1    
А П       A A ... A    
  =12   n2 .  
          ... ... ... ...    
          A1n A2n ... Ann  
4. Поділимо кожен елемент матриці АП на визначник матриці  
A ,тобто помножимо число         на матрицю AП . Одержана матриця  
    A      
     
                         
                           

 


буде оберненою:

                      A11 A21 ... An1    
  − 1 =     П =     A A ... A    
A       A             n2 .  
                 
      A           A   ... ... ... ...    
Матриця AП ,                     A1n A2n ... Ann  
  яка   складена із алгебраїчних доповнень  

елементів транспонованої матриці, називається приєднаною ( або союзною)до матриціA.

Зауваження 1. Приєднана матриця матиме такий же вигляд

 

AП ,якщо транспонувати матрицю,складену із алгебраїчних до-повнень елементів матриці A .

 

Приклад 1.Знайти обернену матрицю для матриці

2  
A = 3 − 1 − 3
  − 1  

і показати, що AA1 = A1A = E . Розв’язування. Визначник цієї матриці

 

                2          
                 
  A   =         3 − 1 − 3   = 4 + 24 + 9 4 18 12 = 3.  
     
                  − 1          
Транспонована матриця AТ має вигляд  
                                  − 2 1  
                          AТ = 3 − 1 2 .  
                                  − 3  
                                         
Знайдемо алгебраїчні доповнення кожного елемента цієї  
матриці           1 2                        
A = ( −1 )2         =−2 (6 ) = 4;    
         
                3                        
                                         
A = (1 )3   3 − 1   =−( 6 3 ) =−3;  
     
                3                    
                                     
A = (1 )4   3 − 1   = 6 1 = 5;    
       
                − 1                    
                                     

 


A = ( −1 )3       3 2 =−( 6 8 ) = 2;      
                                       
                                         
A = ( −1 )4             2 − 1             =−4 + 4 = 0;    
               
                                         
                                           
A = ( −1 )5   2 − 1   =−(4 (3 )) = 1;  
     
                                         
A = (1 )4           3 − 1   =−9 (4 ) =−5;  
         
            3                            
                               
A = ( −1 )5     − 2         =−( 6 12 ) = 6 ;  
         
                  3                
                         
A = ( −1 )6   − 2 3   = 2 9 =−7.    
       
                − 1                        
                     
Приєднана матриця буде такою:   5  
                                                   
                                      AП = − 3 6 .  
                                                       
                                                5 − 7  

Обернена матриця А-1 для заданої матриці А має вигляд

        − 5        
                           
         
  − 1                    
A   =   − 3 0 6   =   − 1 0 .  
   
        − 7                
        5          
                       
                                     

Легко перевірити,що

            4 2 5 − 2 3     1 0 0    
  1                                        
A   A =     − 3 0 6 − 1 − 3 = 0 1 0 ;  
     
                                           
                                   
              5 1 7 − 1 2     2 0 0 1    
              1 0 0      
                               
          3 3      
AA 1     3 − 1                  
  = − 3   − 1 0   = 0 1 0 .    
            − 1 2                    
                      0 0 1    
                                 
                                               

 

Приклад 2.Знайти обернену матрицю для матриці


 


  − 2    
  2        
A = .  
  − 2 − 4    
     

Розв’язування. Обчислимо визначник цієї матриці:

    − 2    
     
A   =   − 2 4 =−16 + 12 2 12 + 16 + 2 = 0.  
   
        − 2 − 4    
     

Оскільки A = 0 , тобто матриця A вироджена, то оберненої

для неї не існує.

 

Зауваження 2. Квадратна невироджена матриця другого по-


a

рядку A = 11

a21

 

мулою : A 1 =


 

a12 має обернену A1 і вона знаходиться за фор-  
a22          
1 a   − a      
      .  
     
A a21 a11    

 

Приклад 3.Знайти обернену матрицю до матриці

 

A = .
   

Розв’язування. Задана квадратна матриця другого порядку не-вироджена, оскільки її визначник

3 4 = 3 5 4 1 = 15 4 = 11 0 ,

1 5

 

тому обернена до матриці A існує і її можна знайти за попередньою формулою:

A 1 = 1 51 34 .

11

 


Читайте також:

  1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
  2. D-петля, що складається з 8–12 залишків, декілька з яких – дигідроуридинові.
  3. ReM – модифікований критерій Рейнольда, який визначається за формулою
  4. V Розвиток кожного нижчого рівня не припиняється з розвитком вищого.
  5. А середній коефіцієнт росту в такому випадку визначається як
  6. Абсолютна величина числа позначається символом .
  7. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
  8. Аваль виражається словами
  9. Акт експертизи підписується кожним експертом і засвідчується печаткою медичної установи, на базі якої проводилася судово-психіатрична експертиза.
  10. Акт за формою Н11 або НПВ складається відповідно до акта спе1
  11. Активний бюджетний дефіцитхарактеризу­ється спрямуванням коштів на інвестування еко­номіки, що сприяє зростанню ВВП.
  12. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .




Переглядів: 615

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Обернена матриця | Ранг матриці

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.007 сек.