Називається визначником системи (або головним визначником).

ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Якщо визначник системи n лі-нійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля (≠0 ) , то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться

за формулами Крамера:

x₁ =			, x₂ =	,..., x_n =	n	.	(1.6)

Тут _j - визначник, утворений із визначника	заміною j -го
стовпця, стовпцем із вільних членів.
Доведення. Нехай		A₁₁ , A₂₁ ,..., A_n1 -	алгебраїчні доповнення

елементів першого стовпця визначника системи. Помножимо перше рівняння системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими на A₁₁ , друге – на A₂₁ ,…, n - не - на A_n₁ і додамо. Одержимо

( ∑ⁿ	a_{i 1} A_{i 1} )x₁ + ( ∑ⁿ	a_{i 2} A_{i 1} )x₂ + ...+ ( ∑ⁿ	^a in ^Ai 1 ^)xn	= ∑ⁿ	b_i A_{i 1} (1.7)
i = 1			i = 1	i = 1		i = 1
Тут	_∑n	^ai 1 ^Ai 1 ⁼ ^a11 ^A11 ⁺ ^a21 ^A21 ⁺ ^...⁺ ^an1 ^An1 ⁼	( за теоремою
		i = 1

Лапласа).

За теоремою анулювання

∑^ai 2 ^Ai 1 ⁼ ^a12 ^A11 ⁺ ^a22 ^A21 ⁺ ^... ⁺ ^an2 ^An1 ⁼ ^{0 ,} i = 1

........................................................................

∑ⁿ	a_in A_{i 1} = a_1n A₁₁ + a_2n A₂₁ + + a_nn A_n1... = 0.
i = 1
За теоремою заміщення
_∑n	b_i A_{i 1} = b₁ A₁₁ + b₂ A₂₁ + ...+ b_n A_n1 =	1 ^.
i = 1
		b₁	^a12	...	^a1n

Тут ₁ =	^b2	^a22	...	^a2n		.
		... ... ... ...
		b_n	^an2	...	^ann
Рівність (1.7) запишеться так: ⋅ x₁ =	1 ^.

Оскільки ≠ 0 , то x₁ = ¹.

Так само можна показати, що мають місце інші формули із (1.6). Приклад 1.Користуючись теоремою Крамера,розв’язати си-

стему рівнянь :

x₁ − 3 x₂ + x₃ = 1, 2 x₁ + x₂ − 3 x₃ =−8,

3 x₁ + 2 x₂ + x₃ =−1.

Розв’язування. Обчислимо визначник системи

=	− 3	= 1 + 4 + 27 − 3 + 6 + 6 = 41.

	− 3

Оскільки ≠ 0 , то задана система рівнянь сумісна і має єди-ний розв’язок. Обчислимо визначники:

− 3

− 8

− 3

= 1 − 16 − 9 + 1 − 24 + 6 =−41,

− 1

2⁼

− 8 − 3

=−8 − 2 − 9 + 24 − 2 − 3 = 0 ,

− 1

− 3

− 8

=−1 + 4 + 72 − 3 − 6 + 16 = 82.

− 1

Значить, за формулами Крамера

x₁ = ¹ =⁻ ⁴¹ =−1; x₂ =	2 ₌	= 0; x₃ =	3 ₌	= 2.


Таким чином, x₁ = −1, x₂ = 0 , x₃ = 2 -єдиний розв’язок систе-
ми.
Зауваження.1.Якщо= 0	і _j = 0( j = 1,2,...,n ) , то система

лінійних рівнянь має безліч розв’язків.

Зауваження 2. Якщо=0і хоч один з визначників_j ( j = 1,2,...,n ) не дорівнює нулю,то система лінійних рівнянь не

має розв’язків.

При розв’язуванні n лінійних алгебраїчних рівнянь з n неві-домими за правилом Крамера потрібно обчислювати ( n + 1 ) визна-

чники n -го порядку. Тому при n ≥ 4 знаходження визначників приводить до громіздких обчислень, а значить, користуватись фор-мулами Крамера незручно.

Зауваження 3. Формули Крамера найкраще використовуватитоді, коли визначник системи ≠ 0 , тобто коли розв’язок єдиний. Якщо кількість лінійних алгебраїчних рівнянь більша кількості не-відомих, то ефективніше використовувати інші методи (методи пос-лідовного або повного виключення невідомих), які будуть розгляну-ті пізніше.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Місною.	\|	Матричний метод

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.019 сек.