Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Називається визначником системи (або головним визначником).


 

 


ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Якщо визначник системи n лі-нійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими відмінний від нуля (0 ) , то ця система має єдиний розв’язок, який знаходиться

 

за формулами Крамера:

 

x1 =   , x2 = ,..., xn = n . (1.6)  
         
Тут j - визначник, утворений із визначника заміною j -го  
стовпця, стовпцем із вільних членів.        
Доведення. Нехай   A11 , A21 ,..., An1 - алгебраїчні доповнення  

елементів першого стовпця визначника системи. Помножимо перше рівняння системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими на A11 , друге – на A21 ,…, n - не - на An1 і додамо. Одержимо

( ∑n ai 1 Ai 1 )x1 + (n ai 2 Ai 1 )x2 + ...+ (n a in Ai 1 )xn = ∑n bi Ai 1 (1.7)
i = 1     i = 1 i = 1   i = 1  
Тут n ai 1 Ai 1 = a11 A11 + a21 A21 + ...+ an1 An1 = ( за теоремою
    i = 1          

Лапласа).

 

За теоремою анулювання

n

ai 2 Ai 1 = a12 A11 + a22 A21 + ... + an2 An1 = 0 , i = 1

........................................................................

 

n ain Ai 1 = a1n A11 + a2n A21 + + ann An1... = 0.  
i = 1                  
За теоремою заміщення    
n bi Ai 1 = b1 A11 + b2 A21 + ...+ bn An1 = 1 .  
i = 1                  
    b1 a12 ... a1n        
         
Тут 1 = b2 a22 ... a2n   .    
    ... ... ... ...        
    bn an2 ... ann        
Рівність (1.7) запишеться так: ⋅ x1 = 1 .  
             

Оскільки ≠ 0 , то x1 = 1.

Так само можна показати, що мають місце інші формули із (1.6). Приклад 1.Користуючись теоремою Крамера,розв’язати си-

стему рівнянь :

x1 3 x2 + x3 = 1, 2 x1 + x2 3 x3 =−8,

3 x1 + 2 x2 + x3 =−1.

 

Розв’язування. Обчислимо визначник системи

=   − 3   = 1 + 4 + 27 3 + 6 + 6 = 41.  
     
  − 3    
         
               

 

Оскільки ≠ 0 , то задана система рівнянь сумісна і має єди-ний розв’язок. Обчислимо визначники:

        − 3      
         
=           − 8 − 3   = 1 16 9 + 1 24 + 6 =−41,  
              1      
                     
             
  2=     8 − 3   =−8 2 9 + 24 2 3 = 0 ,  
          − 1            
        − 3            
                 
=     − 8   =−1 + 4 + 72 3 6 + 16 = 82.  
        − 1      

 

Значить, за формулами Крамера

x1 = 1 = 41 =−1; x2 = 2 = = 0; x3 = 3 = = 2.  
     
     
Таким чином, x1 = −1, x2 = 0 , x3 = 2 -єдиний розв’язок систе-  
ми.              
Зауваження.1.Якщо= 0 і j = 0( j = 1,2,...,n ) , то система  

 

лінійних рівнянь має безліч розв’язків.

 

Зауваження 2. Якщо=0і хоч один з визначниківj ( j = 1,2,...,n ) не дорівнює нулю,то система лінійних рівнянь не

 

має розв’язків.

 


При розв’язуванні n лінійних алгебраїчних рівнянь з n неві-домими за правилом Крамера потрібно обчислювати ( n + 1 ) визна-

 

чники n -го порядку. Тому при n4 знаходження визначників приводить до громіздких обчислень, а значить, користуватись фор-мулами Крамера незручно.

 

Зауваження 3. Формули Крамера найкраще використовуватитоді, коли визначник системи ≠ 0 , тобто коли розв’язок єдиний. Якщо кількість лінійних алгебраїчних рівнянь більша кількості не-відомих, то ефективніше використовувати інші методи (методи пос-лідовного або повного виключення невідомих), які будуть розгляну-ті пізніше.

 


Читайте також:

  1. D називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує число М
  2. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
  3. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи
  4. II. Анатомічний склад лімфатичної системи
  5. IV. Розподіл нервової системи
  6. IV. Система зв’язків всередині центральної нервової системи
  7. IV. Філогенез кровоносної системи
  8. POS-системи
  9. T. Сутність, етіологія та патогенез порушень опорно-рухової системи
  10. VI. Філогенез нервової системи
  11. А) Заробітна плата її форми та системи.
  12. А) Заробітна плата, її форми та системи.




Переглядів: 491

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Місною. | Матричний метод

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.