Нехай задана система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими (1.4).
Позначимо через A матрицю, складену із коефіцієнтів при невідомих (так звану основну матрицю системи); X − матрицю-стовпець із невідомих; B - матрицю-стовпець із вільних членів, тоб-то
a11
a12
...
a1n
A=a21
a22
...
a2n
; X
...
...
...
...
an1
an2
...
ann
x1 b1
= x2; B=b2.
... ... xn bn
Тоді систему рівнянь (1.4) можна переписати у вигляді матри-чного рівняння: AX = B.
Якщо квадратна матриця A має не нульовий визначник , то для неї існує обернена A−1 . Помноживши зліва в цьому рівнянні на A−1 ,одержимо A−1 AX = A−1 B або ( A−1 A )X = A−1 B .Враховуючи,
що A−1A = E і EX = X , одержимо матричний розв’язок системи
X = A−1 B.
Знаходження матричного розв’язку називається матричним способомрозв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
Приклад 1.Записати і розв’язати в матричній формі системурівнянь
x1 + x2 + x3 = 3, 3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 10 ,
9 x1 + 8 x2 + 5 x3 = 14.
Розв’язування. Позначимо через
x1
A = 3
, X = x2
, B = 10 .
x3
Система лінійних рівнянь запишеться у матричній формі AX = B.Матричний розв’язок системи буде X = A−1 B.
Для знаходження оберненої матриці A−1
обчислимо визначник
= 20 + 24 + 27 − 36
− 15 − 24 =−4.
A
=
Оскільки A ≠ 0 , то для матриці A існує обернена A−1 , а зна-
чить можна знайти єдиний розв’язок вихідної системи. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів заданої матриці: