• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод Гаусса

Задана система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідо-

мими (1.4).

Вважаємо, що коефіцієнт a₁₁ ≠ 0 . В іншому випадку, переста-

вим місцями такі довільні два рівняння, щоб в першому із них був коефіцієнт біля x₁ , що не дорівнює нулю.

Метод Гаусса розв’язування системи n лінійних алгебраїчних

рівнянь полягає в послідовному виключенні невідомих. Покажемо суть цього методу.

Поділимо перше рівняння на коефіцієнт а₁₁ і позначимо

Далі від другого рівняння віднімемо перше рівняння, помножене на a₂₁ ;від третього рівняння віднімемо перше,помножене на a₃₁ і т.д.

В результаті одержимо нову систему лінійних алгебраїчних рівнянь, в якій x₁ виключено з усіх рівнянь, починаючи з другого:

Тут

a₂₂^{(1 )} ,a₂₃^{(1 )} ,...,a₂⁽¹_n ⁾ ,a₃₂^{(1 )} ,a₃₃^{(1 )} ...,a₃⁽¹_n ⁾ ,...,a_n⁽¹₂ ⁾ ,a_n⁽¹₃ ⁾ ,...a_nn^{(1 )} ,b₂^{( 1 )} ,b₃^{( 1 )} ,...,b_n^{(1 )} -

нові коефіцієнти і вільні члени, які одержались після перетворень за формулами:

ділимо друге рівняння на a₂₂^{(1 )}. Якщо цей коефіцієнт a₂₂^{(1 )} = 0 , то пе-

Від третього рівняння віднімемо друге рівняння, помножене на a₃₂^{(1 )} , від четвертого рівняння віднімемо друге, помножене на

a₄₂^{(1 )} і т.д.Одержимо нову систему лінійних алгебраїчних рівнянь,яка еквівалентна попередній:

Такий процес будемо продовжувати до того часу, поки систе-ма не набуде трикутного вигляду:

кож вільні члени одержуються в результаті перетворень:

a_ij^{(3 )} = a_ij^{(2 )} − a₃^{( 3}_j ⁾a₃^{( 2}_j ⁾ , b⁽_j ^{3 )} = b⁽_j ^{2 )} − b₃^{( 3 )}a₃^{( 2}_j ⁾ ( i = 4 ,5 ,...,n, j = 4 ,5 ,...,n ).

При цьому коефіцієнти a_ii^{(i )} = 1 ( i = 1,2,...,n ).

Остання система містить n лінійних рівнянь і n невідомих і має єдиний розв’язок. Перехід від першої системи рівнянь до остан-

ньої називається прямим ходом методу Гаусса. Обернений хід ме-

тоду Гауссапочинається з останньої системи рівнянь.Їїрозв’язують , знайшовши з останнього рівняння x_n. Підставивши це значення в передостаннє – знайдемо x_n-1 і т.д. З першого рівняння знаходять x₁.

Зауваження 1. Якщо в результаті перетворень зустрінетьсяхоч одне рівняння вигляду 0·x₁+0·x₂+…+0·x_n=0, то одержимо систе-му лінійних рівнянь:

Тут k < n,a_kk^{(k )} ≠ 0.

Залишаємо в лівих частинах рівнянь доданки, які містять k змінних, а інші доданки перенесемо в праву сторону.

Змінним величинам, які знаходяться в правій стороні надаємо довільних значень. Одержимо систему k лінійних рівнянь, які мають k невідомих і трикутний вигляд.

Таким чином, кожній комбінації змінних x_{k + 1}, x_{k + 2},..., x_n від-

повідає один розв’язок останньої системи. В цьому випадку вихідна система рівнянь має безліч розв’язків.

Зауваження 2.Якщо в результаті перетворень зустрінеться хочодне рівняння вигляду 0 ⋅ x₁ + 0 ⋅ x₂ + ... + 0 ⋅ x_n = b , то вихідна сис-

тема лінійних алгебраїчних рівнянь несумісна.

Приклад 1.Користуючись методом Гаусса,розв’язати систе-

2 x₁ + 3 x₂ − 3 x₃ = 1,

му рівнянь x₁ + x₂ + x₃ = 2,

4 x₁ − 2 x₂ + 3 x₃ =−5.

Розв’язування. Першим рівнянням краще вибирати те,в якомукоефіцієнт при невідомому x₁ рівний одиниці. Для цього ліву і пра-ву частини першого рівняння можна поділити на “2”. Однак в дано-му прикладі зручніше поміняти місцями перше та друге рівняння:

4 x₁ − 2 x₂ + 3 x₃ =−5.

Виключимо невідоме x₁ в другому та третьому рівняннях сис-теми.Для цього перше рівняння помножимо на “-2”, “-4” і додамо відповідно до другого та третього рівнянь:

Для виключення невідомого x₂ в третьому рівнянні додамо до нього друге, помножене на “6”:

⁼− 31 ⁼

Із останнього рівняння знаходимо x_{3 − 31}1.Підставивши

значення x₃=1 в друге рівняння, одержимо x₂= –3+5 x₃=–3+5=2. Із першого рівняння x₁=2–x₂–x₃=2–2–1= –1.

Таким чином, числа –1;2;1 є розв’язком вихідної системи лі-нійних рівнянь.

Часто на практиці замість перетворень над системою викону-ють відповідні перетворення над матрицею, складеною з коефіцієн-тів при невідомих і стовпця з вільних членів, який для зручності ви-

~

ділимо вертикальною лінією. Таку матрицю А називають розши-реноюматрицею системи.

Приклад 2.Користуючись методом Гаусса,розв’язати систе-му рівнянь

x₁ + x₂ + 3 x₃ + 4 x₄ =−3.

Розв’язування. Заданій системі лінійних рівнянь відповідає ро-

Зведемо її до трикутного вигляду з допомогою елементарних перетворень.

1-й крок. Поміняємо місцями перший та другий рядки.

2-й крок. Додамо до елементів другого, третього і четвертого рядків елементи першого рядка, помножені відповідно на

“−2”,“−2”,“−1”.

3-й крок. Додамо відповідні елементи другого і третього ряд-

ків.

4-й крок. Поділимо всі елементи четвертого рядка на “-2” і поміняємо місцями з третім рядком.

5-й крок. Додамо до елементів четвертого рядка відповідні елементи третього рядка, помножені на “6”.

6-й крок. Поділимо всі елементи четвертого рядка на “-7”.

Розв’язування.Виключимо невідому величинуx₁із другого і

третього рівнянь. Для цього перше рівняння помножимо на “-3” і додамо до другого і третього рівнянь:

Звідси x₂ = 5 − 2 x₃ , а із першого рівняння x₁ = −1 + 3 x₃.

Це загальний розв’язок вихідної системи рівнянь. Для отри-мання одного із часткових розв’язків, надамо змінній x₃ довільного

значення. Наприклад, якщо x₃ = 0 , то x₂ = 5 , x₁ = −1. Детальніше

про розв’язування рівнянь такого типу буде показано в §13 цього розділу.

Приклад 4.Користуючись методом Гаусса,розв’язати систе-му рівнянь

Розв’язування. Помножимо перше рівняння на“-3”і“-1”і до-дамо відповідно до другого і третього рівнянь. Цим самим виклю-чимо невідому величину x₁ із другого і третього рівнянь:

Для виключення невідомої величини із третього рівняння, до-дамо до нього друге:

Згідно з зауваженням 2, така система лінійних алгебраїчних рівнянь несумісна.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
5. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
6. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
7. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
8. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
9. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
10. Агресивний тип дивідендної політики включає метод стабільного приросту дивідендів і метод постійного коефіцієнта виплат.
11. АгротехнІЧНИЙ метод
12. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві

Переглядів: 665