• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод координат на прямій та його застосування

Розглянемо горизонтальну пряму лінію l на площині (мал.1). На цій прямій l візьмемо нерухому

^{О А1 l} точкуO,що називається початком

відліку. Ця точка розбила пряму на два взаємно протилежні на-

прямки: додатній – вправо і від’ємний – вліво. Взявши деяку одини-цю масштабу, вправо від точки Oвідкладаємо додатні числа, а вліво

– від’ємні числа. Ці числа відповідають деяким точкам на прямій l і навпаки, отже між точками прямої l та дійсними числами існує взаємно однозначна відповідність. Таку пряму l будемо називати числовою віссю Ox. Точці O, що вважається початком відліку , відповідає число нуль.

Таким чином, ми побудували систему координат на прямій. Візьмемо деяку точку А на числовій осі. Цій точці відповідає деяке число х, яке називається координатою точки А. Це записується А(х).

Будемо вважати відрізокОА₁ , що відкладений праворуч від точки O за додатній, а відрізокОА₂ відкладений ліворуч від точки О-за від’ємний(мал.1).

Відрізок, у якого A початок, а В кінець, позначають АВ і на-

зивають напрямленим відрізком. Величину відрізка AB будемо позначати символом АВ.

Означення. Відрізки, які характеризуються не тільки своєю довжиною, але й напрямом називаються напрямленими відрізками.

Величина напрямленого відрізка є його довжина, взята з пев-

Висновок.Якщо на прямій в деякій системі координат заданодві точки A₁( x₁) і A₂( x₂) ,тоді величина відрізка A₁A₂ знаходиться

із рівності (2.1), а віддаль (довжина) між цими точками за формулою

(2.2).

Приклад 1.Задано точкиA( 2 ), B(−7 ), C(−3 ).

Знайти величину відрізків АВ , СВ .

◙ Найпростіші задачі на застосування методу координат.

Тоді ОA₁ = x₁,ОB₁ = x₂,ОA₂ = y₁,ОB₂ = y₂.

Через точку A проведемо пряму, паралельну осі абсцис до пе-ретину з прямою BB₁ в точці C . З одержаного прямокутного три-

кутника ABC за теоремою Піфагора знаходимо d ² = AB ² = AC ² + BC ² .

На основі формули (2.2) дану рівність перепишемо так:

Знак перед коренем у формулі (2.3) береться (+) тому, що віддаль – величина додатна.

Зауваження. Різниця координат у формулі(2.3)підноситьсядо квадрату і тому немає значення, яку точку вважати першою, а яку другою.

Приклад .Знайти віддаль між точкамиA( 4;5 )iB( 9;−7 ).Розв’язування. За формулою(2.3)знаходимо

d = ( 9 − 4 )² + ( −7 − 5 )² = 25 + 144 = 169 = 13.

на відрізку AB і ділить його на два відрізки AC і CB , причому

відношення їх дорівнює λ , тобто λ = ^AC (число λ відоме). Випа-

CB

док, коли точка С співпадає з точкою B виключаємо, бо знаменник перетворюється в нуль. Наша задача полягає в тому, щоб знайти ко-ординати точки С( x , y ) через координати точок A( x₁, y₁) ,

B( x₂ , y₂ ). та числоλ.

Спроектуємо точки A,C та B на координатну вісь Ox (мал.7) і позначимо їх проекції через A₁ , C₁ та B₁ . Використовуючи тео-рему про пропорційні відрізки, що містяться між паралельними

Аналогічно, спроектувавши точки A,C та B на координатну вісь Oy (мал.7) і зробивши необхідні викладки, як вище, знаходимо

одержані формули (2.4) справедливі і тоді , коли відрізок АВ пара-лельний вісі Ox(y = y₁ = y₂), або осі Oy(x = x₁ = x₂) .

Крім цього, все викладене вище справедливе й тоді, коли точ-ка С( x , y ) знаходиться зовні АВ , тобто на його продовженні.

Приклад 1. Дано дві точкиA(7;-2)іB(-3;-5).На продовженніпрямої АВ знайти точку C(x,y), віддаль від якої до точки A в п’ять раз більша за віддаль до точки B. Знайти довжину AC .

Розв’язування. Зробимо малюнок.

За умовою

задачі

(мал.8)

у

AC

λ =

=−5. Тепер за формулою

CB

О

х

-3

(2.4) знаходимо

-2

A

7 + ( −5 )( −3 )

x =

=

= −

,

1 + ( −5 )

− 4

y =

− 2 + ( −5 )( −5 )

=

= −

.

B

-5

C

1 + ( −5 )

− 4

Мал.8

Значить, точка C( −

;−

) .

Довжину

АС

знаходимо за формулою (2.3)

АС

= (7 +

)2 + ( −2 +

)2 =

5 19

.

Приклад

2.

Знаючи

координати

вершин

трикутника

A( 2;3 ) , B( −4;5 ) і

C( −2;−5 ) ,

знайти точку

M перетину медіан

трикутника.

Розв’язування. Координати точки D (середина сторони BC )

буде xD = − 4 − 2 = −3 ,

yD

=

5 − 5

= 0 ,тобто D( −3;0 ) .

Шукана

точка

M

ділить

кожну медіану у

відношенні

λ= 2 : 1 ,рахуючи від вершини.Тепер підставляючи у формули

відкладаємо відрізок AB= -2. Через точку B проводимо пряму, паралельну вісі Oz і відкладаємо відрізок BM₁=3

Кінець цього відрізка дає шука-ну точку M₁ (мал.10). Точка M₂(-1;1;2) будується аналогічно.

М₁ ^M2

^x Мал.10

§ 4. Скалярні і векторні величини

У фізиці, математиці, економіці і інших науках зустрічаються величини двох видів: одні з них характеризуються тільки числом, а інші – числом і напрямом в просторі.

Величини називаються скалярними або скалярами, якщо кож-на із них визначається своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць, наприклад, довжина, площа, об’єм, час, температура.

Величини називаються векторними або векторами, якщо кож-на із них визначається числовим значенням і напрямом. Наприклад, сила, швидкість, прискорення.

Означення. Напрямлений відрізок прямої називається век-

Тором.

→

Вектор будемо позначати символом AB . Перша буква означає по-чаток вектора, а друга – його кінець. Вектор також будемо познача-

→ ти однією малою буквою з стрілкою на

співпадають, то вектор називається нульовим і позначається 0 або просто 0 .Віддаль між початком і кінцем вектора називається його

→

довжиною , або модулем і позначається AB або а .

Ми будемо вивчати вільні вектори. Такий вектор можна пере-носити по його лінії дії або паралельно самому собі.

Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних пря-мих, або на одній і тій же прямій, називаються колінеарними.

Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних площи-нах або на одній і тій же площині, називаються компланарними.

Відповідно, компланарні вектори, які приведені до одного і того ж початку, будуть знаходитися на одній площині.

Означення. Два вектори рівні, якщо вони однаково напрямлені і модулі їх рівні .

Означення. Два вектори, в яких модулі рівні, а напрямки

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. ЗАГАЛЬНІ МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
5. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
6. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
7. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
8. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
9. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
10. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
11. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
12. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.

Переглядів: 1953