Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах

РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання

ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"

ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ

Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків

Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні

Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах

Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами

ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ

ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів


Контакти


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Власні числа та власні вектори матриці

→

Означення. Вектор x ≠ 0 називається власним вектором матриці A , якщо знайдеться таке число λ , що

                        →     →                    
                        A x =λ x ,               (2.36)  
де число λ називається власним значенням матриці A , яке  
            →                                    
відповідає вектору x .                                    
Запишемо рівність (2.36) в матричній формі:    
                        AX =λX ,           (2.37)  
                                              →    
де X − матриця-стовпчик із координат вектора x .    
Рівняння (2.37) розпишемо в координатній формі    
a11 x1 + a12 x2 + ...+ a1n xn =λx1      
a x + a x + ...+ a 2n x n =λx   (2.38)  
................................................        
              + an2 x2 + ...+ ann xn =λxn      
an1 x1      
Перепишемо рівняння системи (2.38) так, щоб в правих час-  
тинах були нулі:                                                  
( a11 − λ )x1   + a12 x2 + ...+ a1n xn = 0    
a x + ( a − λ )x + ...+ a 2n x n = 0 (2.39)  
                                 
      ................................................    
              + an2 x2 + ...+ ( ann − λ )xn = 0    
an1 x1    

Щоб перейти до розгляду системи (2.39) доведемо таку тео-

рему.

 

ТЕОРЕМА. Однорідна система ( n рівнянь з n

невідомими)  
AX = 0 (2.40)

 

має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли A=0 , тобто

коли матриця A є виродженою.


 


Доведення. Нехай система(2.40)має ненульовий розв’язок.Покажемо, що A = 0 . Дійсно, якщо б це було не так, тобто A ≠ 0 ,

то розв’язуючи систему за правилом Крамера, ми б одержали єдиний нульовий розв’язок x = 0 , а це протирічить умові.

 

Нехай A = 0 , покажемо, що існує ненульовий розв’язок сис-теми. Для зручності розглянемо систему двох рівнянь.

          a x + a x = 0       (2.41)  
                      = 0        
            a21 x1 + a22 x2              
            A = a   a                  
                      12 .              
                      a21   a22              
Тому що   A   = 0 ,то і   T   = 0 , тобто матриця T a a    
         
      A     A =      
                                        a12 a22  
є виродженою.Значить стрічки матриці            
A є лінійно залежними,а це  
означає, що і стовпчики матриці AT є лінійно залежні.Вказані сто-  

→ →

 

впчики позначимо через a1іa2 . При цьому існують такі числа k1 і k2 ,які не дорівнюють одночасно нулю,що виконується рівність

→ → a   k   + a   k   = 0    
k1 a 1 + k2 a 2 = 0 або в координатній формі .  
        = 0  
    a21k1 + a22 k2    

Отже, це значить, що система (2.41) має ненульовий розв’язок. Теорема доведена.

 

Тепер повернемось до системи (2.39). На основі вище приведеної теореми, система (2.39) має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто

      a11 − λ a12 ... a1n      
           
A − λE   = a21 a22 − λ ... a2n = 0 . (2.42)  
   
  ... ... ... ...  
           
      an1 an2 ... ann − λ      

Визначник (2.42) є многочленом n -го степеня відносно λ . Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А, а рівняння (2.42) називається характеристичним рівнянням матриці А

 

Приклад 1.Знайти власні числа і власні вектори матриці

     
A = − 1 .  
     

 


Розв’язування. Запишемо систему типу(2.39)для знаходжен-ня власних чисел і власних векторів, а саме

( 1 − λ )x1 + 2 x2 = 0 ,
  (2.43)
− x1 + ( 4 − λ )x2 = 0.
Як нам уже відомо, для того, щоб ця система мала ненульові

розв’язки, потрібно , щоб визначник цієї системи дорівнював нулю,

тобто   1 − λ   = 0 λ+ 6 = 0. Корені цього квадратного  
     
  − 1 4 − λ   або λ − 5  
рівняння є λ 1 = 2,λ 2 = 3. Таким чином ми знайшли власні  

(характеристичні) числа.

 

Тепер знайдемо власні вектори, які відповідають знайденим власним числам.

Щоб знайти координати власного вектора, що відповідає власному числу λ 1 = 2, то λ 1 = 2 підставляємо в систему (2.43).

      − x1 + 2 x2 = 0 x2 = t при    
    Одержимо + 2 x2 , звідси x1 = 2t ,    
      − x1 = 0      
довільному t ≠ 0 , є розв’язком цієї системи. Отже, вектор    
2t   , t ≠ 0 є власним вектором-стовпчиком матриці A.    
t                
    Для знаходження координат власного вектора матриці A, що  
відповідає власному числу λ 2 = 3 поступаємо аналогічно. Число  
λ 2 = 3 підставляємо в систему(2.43)і одержимо      
    − 2 x1 + 2 x2 = 0          
      , звідси x1 = x2 .      
    − x1 + x2 = 0          
    Значить, x1 = t , x2 = t , t ≠ 0 ,а вектор-стовпчик t є власним  
            t    

вектором, що відповідає власному числу λ 2 = 3 .

 

Читайте також:

  1. IV. На четвертому етапі, виходячи із позиції кожної СОБ на матриці АДЛ, вибирають для неї відповідну стратегію.
  2. Абсолютна величина дійсного числа
  3. Абсолютна величина числа позначається символом .
  4. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  5. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  6. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  7. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  8. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  9. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  10. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  11. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ
  12. АВТОРСЬКІ ПРАВА ТА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНА ВЛАСНІСТЬ



Переглядів: 1521

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Вектори є уже лінійно залежні. | Лінійна модель торгівлі.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.016 сек.