Власні числа та власні вектори матриці

→

Означення. Вектор x ≠ 0 називається власним вектором матриці A , якщо знайдеться таке число λ , що

→ →

A x =λ x , (2.36)

де число λ називається власним значенням матриці A , яке

→

відповідає вектору x .

Запишемо рівність (2.36) в матричній формі:

AX =λX , (2.37)

→

де X − матриця-стовпчик із координат вектора x .

Рівняння (2.37) розпишемо в координатній формі

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ...+ a_1n x_n =λx₁

_a x + a x + ...+ a 2n x n =λx (2.38)

................................................

+ a_n2 x₂ + ...+ a_nn x_n =λx_n

^an1 ^x1

Перепишемо рівняння системи (2.38) так, щоб в правих час-

тинах були нулі:

( a₁₁ − λ )x₁ + a₁₂ x₂ + ...+ a_1n x_n = 0

a x + ( a − λ )x + ...+ a 2n x n = 0 (2.39)

................................................

+ a_n2 x₂ + ...+ ( a_nn − λ )x_n = 0

^an1 ^x1

Щоб перейти до розгляду системи (2.39) доведемо таку тео-

рему.

ТЕОРЕМА. Однорідна система ( n рівнянь з n

невідомими)

AX = 0 (2.40)

має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли A=0 , тобто

коли матриця A є виродженою.

Доведення. Нехай система(2.40)має ненульовий розв’язок.Покажемо, що A = 0 . Дійсно, якщо б це було не так, тобто A ≠ 0 ,

то розв’язуючи систему за правилом Крамера, ми б одержали єдиний нульовий розв’язок x = 0 , а це протирічить умові.

Нехай A = 0 , покажемо, що існує ненульовий розв’язок сис-теми. Для зручності розглянемо систему двох рівнянь.

a x + a x = 0 (2.41)

= 0

^a21 ^x1 ⁺ ^a22 ^x2

A = a a

¹² .

^a21 ^a22

Тому що A = 0 ,то і T = 0 , тобто матриця T a a

A A =

^a12 ^a22

є виродженою.Значить стрічки матриці

A є лінійно залежними,а це

означає, що і стовпчики матриці A^T є лінійно залежні.Вказані сто-

→ →

впчики позначимо через a1іa2 . При цьому існують такі числа k₁ і k₂ ,які не дорівнюють одночасно нулю,що виконується рівність

→ → a k + a k = 0

k₁ a 1 + k₂ a 2 = 0 або в координатній формі .

= 0

^a21^k1 + a₂₂ k₂

Отже, це значить, що система (2.41) має ненульовий розв’язок. Теорема доведена.

Тепер повернемось до системи (2.39). На основі вище приведеної теореми, система (2.39) має ненульовий розв’язок тоді і тільки тоді, коли визначник системи дорівнює нулю, тобто

a₁₁ − λ ^a12 ... ^a1n

A − λE = ^a21 a₂₂ − λ ... ^a2n = 0 . (2.42)

... ... ... ...

^an1 ^an2 ... a_nn − λ

Визначник (2.42) є многочленом n -го степеня відносно λ . Цей многочлен називається характеристичним многочленом матриці А, а рівняння (2.42) називається характеристичним рівнянням матриці А

Приклад 1.Знайти власні числа і власні вектори матриці

A = − 1 .

Розв’язування. Запишемо систему типу(2.39)для знаходжен-ня власних чисел і власних векторів, а саме

( 1 − λ )x₁ + 2 x₂ = 0 ,

(2.43)

− x₁ + ( 4 − λ )x₂ = 0.

Як нам уже відомо, для того, щоб ця система мала ненульові

розв’язки, потрібно , щоб визначник цієї системи дорівнював нулю,

тобто 1 − λ = 0 λ+ 6 = 0. Корені цього квадратного

− 1 4 − λ або λ − 5

рівняння є λ ₁ = 2,λ ₂ = 3. Таким чином ми знайшли власні

(характеристичні) числа.

Тепер знайдемо власні вектори, які відповідають знайденим власним числам.

Щоб знайти координати власного вектора, що відповідає власному числу λ ₁ = 2, то λ ₁ = 2 підставляємо в систему (2.43).

− x₁ + 2 x₂ = 0 x₂ = t при

Одержимо + 2 x₂ , звідси x₁ = 2t ,

− ^x1 = 0

довільному t ≠ 0 , є розв’язком цієї системи. Отже, вектор

2t , t ≠ 0 є власним вектором-стовпчиком матриці A.

^t

Для знаходження координат власного вектора матриці A, що

відповідає власному числу λ ₂ = 3 поступаємо аналогічно. Число

λ ₂ = 3 підставляємо в систему(2.43)і одержимо

− 2 x₁ + 2 x₂ = 0

, звідси x₁ = x₂ .

− ^x1 + x₂ = 0

Значить, x₁ = t , x₂ = t , t ≠ 0 ,а вектор-стовпчик ^t є власним

^t

вектором, що відповідає власному числу λ ₂ = 3 .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Вектори є уже лінійно залежні.	\|	Лінійна модель торгівлі.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.