Одним із прикладів економічних процесів, які приводять до поняття власного числа і власного вектора матриці, є процес взаєм-них закупок товарів. Ми будемо розглядати лінійну модель обміну, або як її називають другими словами, модель міжнародної торгівлі.
Нехай є n держав, S1, S2,...Sn національний дохід яких дорів-
нює відповідно x1, x2,...xn . Долю національного доходу, яку держа-ва Sj витрачає на покупку товарів у держави Si позначимо коефіці-єнтами aij . Будемо вважати, що весь національний дохід витрача-
ється на закупку товарів або всередині держави, або на імпорт із ін-ших держав, тобто
∑n
aij = 1
( j = 1,2,...,n ) .
i = 1
Розглянемо матрицю коофіцієнтів aij
:
a
a
...
a
1n
A =
a21
a22 ...
a2n
...
... ...
... .
an2 ...
an1
ann
Матриця А, з властивістю, що сума елементів її довільного стовпчика дорівнює 1, називається структурною матрицею торгі-
Влі.
Для будь-якої держави Si( i = 1,2,...,n ) загальна виручка від зовнішньої і внутрішньої торгівлі складає
рi = ai 1 x1 + ai 2 x2 + ...+ ain xn .
Для збалансованості торгівлі необхідно бездефіцитність тор-гівлі кожної держави, тобто виручка від торгівлі кожної держави не
повинна бути меншою від її національного доходу, тобто pi
≥ xi
( i = 1,2,...,n ) або ai 1 x1 + ai 2 x2 + ...+ ain xn ≥ xi ( i = 1,2,...,n ). В
цій
умові не може бути знака нерівності. Дійсно, додавши всі ці нерів-ності, коли i міняється від 1 до n і згрупувавши, одержимо