Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.
Нехай задано дві площини
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ,
(2.74)
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 .
(2.75)
Якщо ці площини перетинаються, то кутом між ними назвемо будь-який суміжний двогранний кут. Один із них дорівнює куту ϕ
→
між векторами n1( A1, B1,C1) і n2( A2, B2,C2) , а другий -
ϕ1 = 1800 − ϕ.
Значить, шуканий кут φ можна знайти за формулою (2.21) §11
cos ϕ=
A1 A2
+ B1 B2 + C1C2
.
(2.76)
+ B2
+ C 2
A2 + B2
A2
+ C 2
Якщо ϕ = π, то із формули (2.76) одержуємо, що
A1 A2 + B1 B2 + C1C2
= 0 .
(2.77)
Умова (2.77) одержується із умови перпендикулярності векто-
→ →
рів n1 і n2 . Рівність (2.77) називається умовою перпендикулярності
двох площин.
Якщо площини (2.74) і (2.75) паралельні, то нормалі цих пло-
→
щин n1 = ( A1, B1,C1) і n2 = ( A2,B2 ,C2) будуть колінеарні і тоді за
формулою (2.23) одержимо
A1
=
B1
=
C1
.
(2.78)
A2
B2
C2
Умова (2.78) виражає умову паралельності двох площин. Приклад 1.Записати рівняння площини,що проходить через
точки M1( 8;−3;1 ) і M2( 4;7 ;2 ) і перпендикулярна до площини
3 x + 5 y − 72 + 21 = 0 .
Розв’язування. Тому що площина проходить через точкуМ1 ( 8;−3;1 ) ,то її координати задовольняють рівняння(2.71),тобто
A( x − 8 ) + B( y + 3 ) + C( z − 1 ) = 0 .
(2.79)
Аналогічно, площина проходить і через точку M2( 4;7 ;2 ) , то її координати задовольняють рівнянню (2.79), тобто
A( 4 − 8 ) + B(7 + 3 ) + C( 2 − 1 ) = 0 .
(2.80)
Використаємо умову перпендикулярності (2.77) для площини (2.79) і заданої площини 3x+5y-7z+21=0, тобто 3A+5B-7C=0. Для знаходження А,В,С маємо систему двох рівнянь з трьома невідоми-ми, а саме