Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.

Нехай задано дві площини

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 ,	(2.74)
A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 .	(2.75)

Якщо ці площини перетинаються, то кутом між ними назвемо будь-який суміжний двогранний кут. Один із них дорівнює куту ϕ

→

між векторами n1( A₁, B₁,C₁) і n2( A₂, B₂,C₂) , а другий -

ϕ₁ = 180⁰ − ϕ.

Значить, шуканий кут φ можна знайти за формулою (2.21) §11

cos ϕ=		^A1 ^A2	+ B₁ B₂ + C₁C₂		.	(2.76)
	+ B²	+ C ²	A² + B²
	A²	+ C ²

Якщо ϕ = ^π , то із формули (2.76) одержуємо, що

	A₁ A₂ + B₁ B₂ + C₁C₂	= 0 .		(2.77)

Умова (2.77) одержується із умови перпендикулярності векто-

→ →

рів n1 і n2 . Рівність (2.77) називається умовою перпендикулярності

двох площин.

Якщо площини (2.74) і (2.75) паралельні, то нормалі цих пло-

→

щин n1 = ( A₁, B₁,C₁) і n2 = ( A₂,B_{2 ,}C₂) будуть колінеарні і тоді за

формулою (2.23) одержимо

A₁	=	B₁	=	C₁	.	(2.78)
^A2	^B2
		^C2

Умова (2.78) виражає умову паралельності двох площин. Приклад 1.Записати рівняння площини,що проходить через

точки M₁( 8;−3;1 ) і M₂( 4;7 ;2 ) і перпендикулярна до площини

3 x + 5 y − 72 + 21 = 0 .

Розв’язування. Тому що площина проходить через точкуМ₁ ( 8;−3;1 ) ,то її координати задовольняють рівняння(2.71),тобто

A( x − 8 ) + B( y + 3 ) + C( z − 1 ) = 0 .

(2.79)

Аналогічно, площина проходить і через точку M₂( 4;7 ;2 ) , то її координати задовольняють рівнянню (2.79), тобто

A( 4 − 8 ) + B(7 + 3 ) + C( 2 − 1 ) = 0 .

(2.80)

Використаємо умову перпендикулярності (2.77) для площини (2.79) і заданої площини 3x+5y-7z+21=0, тобто 3A+5B-7C=0. Для знаходження А,В,С маємо систему двох рівнянь з трьома невідоми-ми, а саме

− 4 A + 10B + C = 0 ,

+ − =

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Рівняння площини у відрізках	\|	A 5B 7C 0.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.012 сек.