Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.

Нехай задано дві площини

A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 ,	(2.74)
A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0 .	(2.75)

Якщо ці площини перетинаються, то кутом між ними назвемо будь-який суміжний двогранний кут. Один із них дорівнює куту ϕ

→

між векторами n1( A₁, B₁,C₁) і n2( A₂, B₂,C₂) , а другий -

ϕ₁ = 180⁰ − ϕ.

Значить, шуканий кут φ можна знайти за формулою (2.21) §11

cos ϕ=		^A1 ^A2	+ B₁ B₂ + C₁C₂		.	(2.76)
	+ B²	+ C ²	A² + B²
	A²	+ C ²

Якщо ϕ = ^π , то із формули (2.76) одержуємо, що

	A₁ A₂ + B₁ B₂ + C₁C₂	= 0 .		(2.77)

Умова (2.77) одержується із умови перпендикулярності векто-

→ →

рів n1 і n2 . Рівність (2.77) називається умовою перпендикулярності

двох площин.

Якщо площини (2.74) і (2.75) паралельні, то нормалі цих пло-

→

щин n1 = ( A₁, B₁,C₁) і n2 = ( A₂,B_{2 ,}C₂) будуть колінеарні і тоді за

формулою (2.23) одержимо

A₁	=	B₁	=	C₁	.	(2.78)
^A2	^B2
		^C2

Умова (2.78) виражає умову паралельності двох площин. Приклад 1.Записати рівняння площини,що проходить через

точки M₁( 8;−3;1 ) і M₂( 4;7 ;2 ) і перпендикулярна до площини

3 x + 5 y − 72 + 21 = 0 .

Розв’язування. Тому що площина проходить через точкуМ₁ ( 8;−3;1 ) ,то її координати задовольняють рівняння(2.71),тобто

A( x − 8 ) + B( y + 3 ) + C( z − 1 ) = 0 .

(2.79)

Аналогічно, площина проходить і через точку M₂( 4;7 ;2 ) , то її координати задовольняють рівнянню (2.79), тобто

A( 4 − 8 ) + B(7 + 3 ) + C( 2 − 1 ) = 0 .

(2.80)

Використаємо умову перпендикулярності (2.77) для площини (2.79) і заданої площини 3x+5y-7z+21=0, тобто 3A+5B-7C=0. Для знаходження А,В,С маємо систему двох рівнянь з трьома невідоми-ми, а саме

− 4 A + 10B + C = 0 ,

+ − =

Читайте також:
Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.
Аналогія як умовивід
Блок 4. Умови та охорона праці.
Блок перевірки умови
БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
Взаємне положення площин. Перша позиційна задача
Види аудиторських висновків та умови їх надання
Види і типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
Види й типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
Визначення непаралельності
Вимоги до паралельності й перпендикулярності сторін ділянок
Винесення внутрішніх, розумових дій назовні називають екстеріоризацією.

Переглядів: 1337

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Рівняння площини у відрізках | A 5B 7C 0.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.