Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Означення похідної

 

Уточнимо поняття похідної функції, з яким знайомі з шкіль-ного курсу математики.

 

Нехай задано функцію y = f ( x ), визначену на проміжку ( a ,b ).Візьмемо деяку точку x0 з цього проміжку.Значення функції

 

в ній буде y0 = f ( x0 ). Hадамо аргументу приріст х,такий,що  
точка x1 = x0 + x не вийде за вказаний проміжок.Тоді функція  
одержить нове значення f ( x0 + x ) = y0 + y ,а її приріст  
y = f ( x0 + x ) − f ( x0 ) .Складемо відношення    
приросту функції до приросту аргументу    
    y = f ( x0 + x ) − f ( x0 ) . (4.1)  
           
    x x    

Знайдемо границю відношення (4.1) при умові, що x прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її називають похідною функції

y = f ( x ) в точці x0 і позначають f ′( x0 ) .      
f ′( x0 ) = lim y = lim   f ( x0 + x ) − f ( x0 ) .  
       
  x→0 x x→0 x  

Якщо похідна існує для всіх точок проміжку,то вона є функці-єю від х . Для кожного конкретного значення x = x0 похідна є чис-

 

ло.

 

Означення. Похідною функції у = f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументy прямує до нуля.


 


Похідну позначають так : y′ , y , f ′ , dy , df .  
  x       dx   dx    
                       
      y′= lim   y = lim f ( x0 + x ) f ( x0 ) .  
             
      x →0 x x →0         x  
Покажемо застосування цього означення для знаходження по-  
хідних деяких функцій.               y = x2 .  
Приклад 1.Знайти похідну функції  
Розв’язування.                      
1. Надаємо аргументу х приросту х.  
2. Знаходимо приріст функції   y ,віднявши від значення фу-  
нкції в новій точці значення функції в початковій точці  
  y = ( x + x )2 x2 = x2 + 2 x x + ( x )2 x2 =  
= 2 x x + ( x )2 .                      
3. Складаємо відношення приростів        
  y = 2 x x + ( x )2 = 2 x + x.              
                       

X x

4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

 

приріст аргументу x прямує до нуля

 

y′= lim y = lim ( 2 х + х ) = 2 х .            
             
x→0 x x→0            
Отже, y′ = 2 x або ( x2)′ = 2 x .       y = x .Від-  
Приклад 2.(самостійно).Знайти похідну функції  
повідь: y′ = 1.                    
Приклад 3.Знайти похідну функціїу=sin x.      
Розв’язування.            
1. Надаємо довільному х приросту x .      
2. Знаходимо приріст функції            
y = sin( x + x ) − sin x = 2 sin x + x − x cos x + x + x =  
     
                 
= 2 sin x cos (x+ x ).            

2 2

3. Складаємо відношення приростів

y = 2 sin x cos( x + x )⋅ .  
     
x x  

 


4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що

 

x 0.

 

      y       sin x   cos( x + x ) =  
y′= lim   = lim        
  x   x    
x→0   x →0  
      x          
  sin             x    
= lim       lim cos( x +     ) = 1 cos x = cos x .  
  x      
x→0   x→0        

Отже 2

, (sin x) = cos x.

Таким способом можна довести, що (сosx )′ = − sin x .

 

Задачі, що приводять до поняття похідної

 


Читайте також:

  1. В цьому полягає механічний (фізичний) зміст похідної.
  2. ВПРАВА 3. Використовуючи форми іменників на позначення посад в дужках, дайте првильний варіант речення. Поясніть вибір.
  3. Геометричний зміст похідної
  4. Геометричний зміст похідної
  5. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
  6. Графічне позначення матеріалу в перерізах і на виді - штрихування, що виконується тонкими суцільними лініями.
  7. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
  8. Допоможи Незнайкові заповнити пропуски в тексті про Лондонський зоопарк поданими означеннями.
  9. Екологія: означення, мета і завдання екології як науки
  10. Економічний зміст похідної
  11. Загальні вимоги до оформлення геологічних карт. Умовні позначення на геологічній графіці.
  12. Задачі, що проводять до поняття похідної




Переглядів: 928

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Деякі економічні задачі і їх розв’язування | Геометричний зміст похідної

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.01 сек.