Уточнимо поняття похідної функції, з яким знайомі з шкіль-ного курсу математики.
Нехай задано функцію y = f ( x ), визначену на проміжку ( a ,b ).Візьмемо деяку точку x0 з цього проміжку.Значення функції
в ній буде y0
= f ( x0 ). Hадамо аргументу приріст
х,такий,що
точка x1 = x0
+ x не вийде за вказаний проміжок.Тоді функція
одержить нове значення f ( x0 + x ) = y0 +
y ,а її приріст
y = f ( x0 +
x ) − f ( x0 ) .Складемо відношення
приросту функції до приросту аргументу
y
=
f ( x0 +
x ) − f ( x0 )
.
(4.1)
x
x
Знайдемо границю відношення (4.1) при умові, що x прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її називають похідною функції
y = f ( x ) в точці x0
і позначають
f ′( x0 ) .
f ′( x0 ) =
lim
y
=
lim
f ( x0 +
x ) − f ( x0 )
.
x→0
x
x→0
x
Якщо похідна існує для всіх точок проміжку,то вона є функці-єю від х . Для кожного конкретного значення x = x0 похідна є чис-
ло.
Означення. Похідною функції у = f(x) в точці х називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, коли приріст аргументy прямує до нуля.
Похідну позначають так
: y′ , y′
, f ′
, dy , df .
x
dx
dx
y′= lim
y
= lim
f ( x0 + x ) − f ( x0 )
.
x →0
x x →0
x
Покажемо застосування цього означення для знаходження по-
хідних деяких функцій.
y = x2 .
Приклад 1.Знайти похідну функції
Розв’язування.
1. Надаємо аргументу х приросту
х.
2. Знаходимо приріст функції
y ,віднявши від значення фу-
нкції в новій точці значення функції в початковій точці
y = ( x + x )2 − x2 = x2 + 2 x x + ( x )2 − x2 =
= 2 x x + (
x )2 .
3. Складаємо відношення приростів
y
=
2 x x + ( x )2
= 2 x +
x.
X x
4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що
приріст аргументу x прямує до нуля
y′= lim
y
= lim ( 2 х + х ) = 2 х .
x→0
x
x→0
Отже, y′ = 2 x або ( x2)′ = 2 x .
y = x .Від-
Приклад 2.(самостійно).Знайти похідну функції
повідь: y′ = 1.
Приклад 3.Знайти похідну функціїу=sin x.
Розв’язування.
1. Надаємо довільному х приросту
x .
2. Знаходимо приріст функції
y = sin( x +
x ) − sin x = 2 sin
x +
x − x
⋅ cos
x +
x + x
=
= 2 sin x cos (x+
x ).
2 2
3. Складаємо відношення приростів
y
= 2 sin
x cos( x +
x )⋅
.
x
x
4. Обчислюємо границю цього відношення при умові , що
x → 0.
y
sin
x
cos( x +x ) =
y′= lim
= lim
x
x
x→0
x →0
x
sin
x
= lim
lim cos( x +
) = 1 ⋅ cos x = cos x .
x
x→0
x→0
Отже 2′
, (sin x) = cos x.
Таким способом можна довести, що (сosx )′ = − sin x .