Зв’язок між неперервністю та диференційовністю фукції

Означення. Функції,які мають похідні в точці x назива-ють диференційованими в цій точці.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції вста-новлює наступна теорема.

ТЕОРЕМА. Якщо функція y=f ( x ) диференційовна

в точці x₀ , то вона неперервна в цій точці.

Доведення.Оскільки функціяy=f ( x )диференційовна в то-чці x₀, то вона має в цій точці скінчену похідну. Це означає, що

lim		y	=	f ′( x ) .

x→0	x

На основі означення границі випливає, що	y	= f ′( x₀ ) +α ,

де α - нескінченно мала величина.				x
		y → 0 , коли x → 0 .
Звідси y = f ′( x₀) x + α x . А тому

А з означення неперервності функції випливає , що y = f ( x ) неперервна в точці x₀ . Теорема доведена.

Обернене твердження неправильне.

Так, функція y = x неперервна в точці x = 0 (мал.3), але вона немає похідної в цій точці. Дійсно,

_х існує в точці x = 0. А, отже, функція y = x

Мал.3	не диференційовна в цій точці.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Економічний зміст похідної	\|	Основні правила диференціювання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.