Жку її похідна дорівнює нулю.

Доведення.Розглянемо дві можливості.

1.Функція f ( x ) зберігає стале значення на всьому проміжку [а ,b],тобто f ( x ) = C . Тоді f ' ( x ) = 0 для всіх х є[а ,b]і теорема

доведена.

2.Функція f ( x ) не є сталою. Як неперервна функція на за-

мкненому проміжку, вона досягає свого найбільшого М і свого най-меншого m значення за теоремою Вейєрштраса. Принаймні одне з цих значень функція приймає всередині проміжку, бо тільки одне з них може прийматись на кінці проміжку. Припустимо для визначе-ності, що функція приймає все-

редині найбільше значення М в _y точці x = x₀ , тобто f ( x₀) = M .

Через те,

що x₀ є внутрі-

шньою точкою проміжка ( a ,b ) і

функція f ( x )

за умовою має

f(a)

f(b)

похідну в ній, то за теоремою

Ферма похідна

f ′( x₀) = 0.

x₀

Доведення аналогічне для

Мал.6

випадку, коли в точці x₀ функція набуває найменшого значення. Теорема Ролля припускає просте геометричне тлумачення.

Якщо крива AB є графік функції y = f ( x ) на [a ,b] , f ( a ) = f ( b ), то існує точка,в якій дотична до кривої паралельнаосі Ox (мал.6).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема Ролля	\|	Теорема Лагранжа

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.093 сек.