1.Функція f ( x ) зберігає стале значення на всьому проміжку [а ,b],тобто f ( x ) = C . Тоді f ' ( x ) = 0 для всіх х є[а ,b]і теорема
доведена.
2.Функція f ( x ) не є сталою. Як неперервна функція на за-
мкненому проміжку, вона досягає свого найбільшого М і свого най-меншого m значення за теоремою Вейєрштраса. Принаймні одне з цих значень функція приймає всередині проміжку, бо тільки одне з них може прийматись на кінці проміжку. Припустимо для визначе-ності, що функція приймає все-
редині найбільше значення М в y точці x = x0 , тобто f ( x0) = M .
Через те,
що x0 є внутрі-
A
B
шньою точкою проміжка ( a ,b ) і
функція f ( x )
за умовою має
f(a)
f(b)
похідну в ній, то за теоремою
Ферма похідна
f ′( x0) = 0.
O
x
x0
b
a
Доведення аналогічне для
Мал.6
випадку, коли в точці x0 функція набуває найменшого значення. Теорема Ролля припускає просте геометричне тлумачення.
Якщо крива AB є графік функції y = f ( x ) на [a ,b] , f ( a ) = f ( b ), то існує точка,в якій дотична до кривої паралельнаосі Ox (мал.6).