• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорема Лагранжа

Цю теорему ще називають теоремою про скінчені прирости.

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f ( x ) неперервна на за-мкнутому проміжку[a ,b]і має похідну в кожній внутрішній то-

чці цього проміжку, то знайдеться принаймні одна така точ-ка х=с всередині проміжку, що справедлива рівність

Доведення. Розглянемо допоміжну функціюF( x )=f ( x )−kx.

Ця функція неперервна, як різниця двох неперервних функцій, а та-кож має похідну у внутрішніх точках проміжку [a ,b] , бо її мають

функції f ( x ) та kx. Доберемо сталу k так, щоб F ( a ) = F ( b ). Тоді

Застосуємо до F ( x ) теорему Ролля . Знайдемо похідну

F' ( x ) = f ' ( x ) − k .

Тоді існує точка х = с , а < c < b, що F' ( c ) = f ' ( c ) − k = 0.

Звідки k = f'(c). Підставивши це значення k у формулу (4.6), одер-жимо

Це означає, що приріст функції дорівнює приросту аргументу, помноженому на похідну в деякій проміжній точці с, що знаходить-ся між x₀ і x₀ + x. Звідси і друга назва теореми.

З теореми Лагранжа випливає два важливих наслідки.

Наслідок 1.Якщо похіднаf ' ( x )=0на деякому інтервалі(a ,b), то функція f ( x ) стала на цьому проміжку.

Доведення.Нехайf ' ( x )=0на(a ,b),аx₁іx₂-довільніточки з цього проміжку. За теоремою Лагранжа

f ( x₂ ) − f ( x₁ ) =( x ₂ − x₁ ) f ' ( c ) = 0. Звідси, f ( x₂) = f ( x₁), а це означає, що f ( x ) = const .

Наслідок 2.Якщо дві функціїf₁( x )таf₂ ( x )мають одна-

кові похідні на деякому проміжку, то ці функції на ньому відрізня-ються хіба що на сталу.

Доведення.Якщоf₁' ( x )=f₂' ( x )на проміжку(a ,b),тофункція F( x ) = f₁( x ) − f₂( x ) на підставі попереднього наслідку 1

дорівнює сталій: F ( x ) = c , тому що F' ( x ) = f₁' ( x ) − f₂' ( x ) = 0. Отже, f₁( x ) − f₂( x ) = c або f₁( x ) = f₂( x ) + c.

Читайте також:

1. Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує
2. В. Друга теорема про розклад.
3. Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
4. Друга теорема Вейєрштрасса
5. Зовнішні ефекти. Теорема Коуза
6. ІІІ. Метод Лагранжа
7. Інтегральна теорема Лапласа
8. Інтерполяційна формула Лагранжа.
9. Лагранжа.
10. Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій
11. Локальна теорема Лапласа
12. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля

Переглядів: 644