Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Теорема Лагранжа

 

Цю теорему ще називають теоремою про скінчені прирости.

 

ТЕОРЕМА. Якщо функція у=f ( x ) неперервна на за-мкнутому проміжку[a ,b]і має похідну в кожній внутрішній то-

 

чці цього проміжку, то знайдеться принаймні одна така точ-ка х=с всередині проміжку, що справедлива рівність

f ( b ) − f ( a ) = ( b a ) f ' ( c ) . (4.5)

 

Доведення. Розглянемо допоміжну функціюF( x )=f ( x )kx.

 

Ця функція неперервна, як різниця двох неперервних функцій, а та-кож має похідну у внутрішніх точках проміжку [a ,b] , бо її мають

 

функції f ( x ) та kx. Доберемо сталу k так, щоб F ( a ) = F ( b ). Тоді

 

F ( x ) буде задовільняти всі умови теореми Ролля. Маємо  
f ( a ) − ka = f ( b ) kb. Звідки    
k = f ( b ) − f ( a ) . (4.6)  
   
  b − a    
Отже, при такому k буде F ( a ) = F ( b ).    

 

Застосуємо до F ( x ) теорему Ролля . Знайдемо похідну

 

F' ( x ) = f ' ( x ) k .

 

Тоді існує точка х = с , а < c < b, що F' ( c ) = f ' ( c )k = 0.

 

Звідки k = f'(c). Підставивши це значення k у формулу (4.6), одер-жимо

  f ' ( c ) = f ( b ) − f ( a )    
     
      b − a  
або f ( b ) − f ( a ) = ( b − a ) f ' ( c ).  
Теорема доведена.          
Якщо покласти a = x0 , b = x0 + x ,то рівність(4.5)запи-  
шеться у вигляді f ( x0 + x )− f ( x0 ) = x ⋅ f' ( c ) ,де x0 < c < x0 + x.  

 


Це означає, що приріст функції дорівнює приросту аргументу, помноженому на похідну в деякій проміжній точці с, що знаходить-ся між x0 і x0 + x. Звідси і друга назва теореми.

З теореми Лагранжа випливає два важливих наслідки.

Наслідок 1.Якщо похіднаf ' ( x )=0на деякому інтервалі(a ,b), то функція f ( x ) стала на цьому проміжку.

 

Доведення.Нехайf ' ( x )=0на(a ,b),аx1іx2-довільніточки з цього проміжку. За теоремою Лагранжа

 

f ( x2 ) f ( x1 ) =( x 2 x1 ) f ' ( c ) = 0. Звідси, f ( x2) = f ( x1), а це означає, що f ( x ) = const .

Наслідок 2.Якщо дві функціїf1( x )таf2 ( x )мають одна-

 

кові похідні на деякому проміжку, то ці функції на ньому відрізня-ються хіба що на сталу.

 

Доведення.Якщоf1' ( x )=f2' ( x )на проміжку(a ,b),тофункція F( x ) = f1( x )f2( x ) на підставі попереднього наслідку 1

 

дорівнює сталій: F ( x ) = c , тому що F' ( x ) = f1' ( x )f2' ( x ) = 0. Отже, f1( x )f2( x ) = c або f1( x ) = f2( x ) + c.

 


Читайте також:

  1. Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує
  2. В. Друга теорема про розклад.
  3. Глобальна інтерполяція. Многочлен Лагранжа
  4. Друга теорема Вейєрштрасса
  5. Зовнішні ефекти. Теорема Коуза
  6. ІІІ. Метод Лагранжа
  7. Інтегральна теорема Лапласа
  8. Інтерполяційна формула Лагранжа.
  9. Лагранжа.
  10. Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій
  11. Локальна теорема Лапласа
  12. Магнітний потік. Теорема Гауса для магнітного поля




Переглядів: 632

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Жку її похідна дорівнює нулю. | Теорема Коші

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.012 сек.