Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лекція 2 Операції над подіями. Теорема додавання ймовірностей. Умовні ймовірності. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій

ОзначенняПротилежними називаються події А і ( не А), які утворюють повну групу (рис. 2).

     

А

 


 

 

Рис. 1

 

Рисунок 2

Прикладом А і є поява аверса і реверса при киданні монети.

ОзначенняДобутком подій А і В називається подія А·В, яка полягає в одночасній появі А і В (рис.3).

 

  А·В
  А  
  В

 

 


Рисунок 3

ОзначенняСумою подій А і В називається подія А + В , яка полягає в появі А або В ( або АВ ) (рис.4).

    А В А + В


 
   

 

 

Рисунок 4

Аналогічно визначаються добуток і сума більшого числа подій.

Теорема 1 Імовірність суми сумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх добутку

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В ) - Р ( А·В)

 

Теорема 2Якщо А і В несумісні, то А·В =V, Р (А·В) = 0 і тоді ймовірність суми несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій

Р ( А + В ) = Р (А ) + Р ( В ).

Останнє співвідношення можна використати як означення несумісних подій.

 

Н а с л і д о к 1. Якщо події А1, А2, . . . Аn попарно несумісні, то

Р (А1 + А2 + . . .+ Аn ) = Р (А1) + Р ( А2) + . . . + Р ( Аn)

(треття аксіома А. Колмогорова).

 

Н а с л і д о к 2. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, які утворюють повну групу, дорівнює одиниці:

Р ( А1 ) + Р ( А2 ) + . . . +Р (Аn) = 1

 

Н а с л і д о к. 3. Сума ймовірностей взаємо протилежних подій дорівнює одиниці:

Р ( А ) + Р ( ) = 1.

 

Так, якщо ймовірність влучення в ціль Р (А) = 0,8, то ймовірність промаху q = 1 – Р ( А) = 0,2.

Події А і В можуть бути залежнимий незалежними. У першому випадку поява А впливає, а в другому не впливає на ймовірність появи В.

 

Приклад

У ящику чотири білих і три чорних кулі. В результаті першого випробування ( вилучення кулі з ящика) з’явилася чорна куля ( подія А). Знайти ймовірність появи білої кулі ( подія В) в другому випробуванні, якщо: а) кулю повертають в ящик, в) кулю не повертають після першого випробування.

Розв’язування. Маємо а) Р(В) = 4 / 7 – незалежна подія;

в) Р ( В/А ) = 4 / 6 = 2 / 3 – залежна подія.

 

ОзначенняУмовною ймовірністю Р (В/А ) називається ймовірність події В за умови, що подія А відбулась.

 

Теорема 3 Ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність іншої

Р ( А·В ) = Р (А)· Р (В/А) = Р (В)· Р ( А /В ).

Н а с л і д о к. Р (В / А ) = Р ( А·В) / Р ( А ).

 

Теорема 4Ймовірність добутку незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей цих подій

Р ( А·В ) = Р (А )· Р ( В ).

Ця теорема випливає з попередньої. Крім того, можна довести, що коли А і В незалежні, то незалежні також А і , і В, і .

 


Читайте також:

  1. А. Це наявність в однієї людини кількох ліній клітин з різним набором хромосом.
  2. А/. Форми здійснення народовладдя та види виборчих систем.
  3. Автододавання та автообчислення.
  4. Аксіоми додавання і множення
  5. Активні операції банків
  6. Активні операції комерційних банків
  7. Алгебра випадкових подій
  8. Алгебра подій
  9. Алгебраїчні операції
  10. Алгоритм здійснення купівлі
  11. Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
  12. Алгоритмічна конструкція повторення та її різновиди: безумовні цикли, цикли з після умовою та з передумовою.




Переглядів: 1660

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Домашнє завдання | Ймовірність появи хоча б однієї події

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.227 сек.