Градієнт функції багатьох змінних. Похідна функції по напрямку

5.1. Градієнт функції багатьох змінних
Означення5. Градієнтом функції	z = f ( x , y )	називається
вектор
qradz = z′	⋅ i + z′	⋅ j		(5,5)
x	y
Аналогічно для функції u = f ( x , y , z )
qradu = u′	⋅ i + u′	⋅ j + u′	⋅ k	(5.6)
x	y	z

Відповідно вводимо градієнт функції u = f ( x₁, x₂,..., x_n)

		∂u		∂u		∂u
	qradu =		;		;...;		.	(5.7)

		∂x₁		∂x₂
				^∂^xn
Скорочено градієнт функції позначимо через	→
q .
5.2. Похідна складної функції
Відомо, що для похідної складної функції однієї змінної
y = f ( u ), де u = u( x ), має місце формула
y′= f ′( u ) ⋅ u′.
u
Узагальнимо цю формулу на випадок функції двох змінних

z = f ( x , y ). Нехай задана диференційовна функція z = f ( x , y ) ,яка

має неперервні частинні похідні	z′	і	z′.	Допустимо	,	що аргументи
x	y

x і y є в свою чергу диференційовними функціями від третьої змін-

ної t :x = ϕ( t ); y = ψ( t ). Ясно, що функція	z = f ( x , y )	є
складною функцією від змінної t : z = f ( ϕ( t ),ψ( t )) = F ( t ) .
Знайдемо похідну цієї функції по змінній t . Для цього надамо
приросту t аргументу t і знайдемо повний приріст функції	z ,
якщо аргументи x і y набувають відповідно приростів x і y :
z = f ( x + x , y + y ) − f ( x , y ) .

Перепишемо цей приріст в іншому вигляді:

z =[ f ( x + x , y + y ) − f ( x , y + y )]+[ f ( x , y + y ) − f ( x , y )].

Застосуємо тепер теорему Лагранжа про скінчені прирости ві-дповідно до першої і другої квадратних дужок. Тоді отримаємо:

z = f ′ ( x +θ

x , y + y ) x + f ′ ( x , y +θ

y ) y .

Допустимо тепер, що частинні похідні неперервні по сукупно-

сті змінних x і y , тоді:

′ ( x +θ

x , y + y ) = f ′

( x , y ) +ε

′ ( x , y +θ

y ) = f ′ ( x , y ) +ε

Таким чином,

z = f ′ ( x , y ) x + f ′ ( x , y ) y +ε

x +ε

y .

Тепер згідно означення похідної знаходимо:

z ₌

∂z

⋅ ^x +

∂z

⋅ ^y + ε₁

^x+ε ₂

^y .

∂x

∂y t

Перейшовши до границі при

t → 0 і враховуючи,що

lim ε

= lim ε

₂ = 0 ,отримаємо формулу:

t →0

∂z

⋅

∂z

⋅

∂x dt

∂y dt

Ця похідна називається повною похідною функції z = f ( x , y )

по аргументу t . Аналогічно вводиться формула повної похідної для функції u = u( x , y ,z )

	du	₌∂u _⋅	dx	₊∂u _⋅	dy	+	∂u _⋅	∂z _,
	dt
	∂x dt	∂y dt	∂z	∂t
де x( t ) = ϕ₁( t ), y( t ) = ϕ₂( t ), z( t ) = ϕ₃( t ) .
Поняття похідної	функції	z = f ( x , y ) можна узагальнити,

якщо ввести похідну функції по напрямку.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Називається граничною продуктивністю праці.	\|	Похідна функції по напрямку

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.01 сек.