Якщо ж збільшити фонди ще на одиницю – купити ще один верстат, то додаткова вартість продукції, що вироблена на ньому, приблизно дорівнює частинній похідній виробничої функції по об’єму фондів. Тоді
y′
L
AK α − 1 Lβ
.
K
=
⋅
називається граничною фондовіддачею
І гранична продуктивність праці, і гранична фондовіддача – це абсолютні величини. Але в економіці надзвичайно цікаво знати на скільки відсотків зміниться випуск продукції, якщо число робітни-ків збільшиться на 1%, або якщо фонди зростуть на 1%. Тому розг-лядаються поняття еластичності випуску продукції по об’єму тру-дових ресурсів і еластичності випуску продукції по фондах:
E
( y ) =
L
⋅ y′
=
L
βAKα Lβ −1 =β
L
y
L
y
E
( y ) =
K
⋅ y′
=
K
αAKα −1 ⋅ Lβ=α
K
y
k
y
Звідси маємо економічний зміст параметрів функції Кобба-Дугласа.
α - еластичність випуску по фондах; β - еластичність випуску по праці.
Приклад 2. Нехай виробнича функція є функцією Кобба-Дугласа. Щоб збільшити випуск продукції на 5% треба збільшити фонди на 10% або чисельність робітників на 15%. В 2001 році один робітник виготовляв продукцію на 2000 грн., а всього робітників 1000. Основні фонди оцінювались в 4 млн.грн. Записати виробничу функцію, величину середньої фондовіддачі і середньої продуктив-ності праці.
Розв’язування. Зрозуміло,що еластичність випуску продукції
по праці β =
, а по фондах α =
. Отже, функція Кобба-Дугласа
має вид y = A ⋅ K
L
,
+
=
< 1 .Підставляючи інші величини,
отримаємо:
2000 ⋅ 1000 =
A ⋅ ( 4 ⋅ 106 )
⋅ ( 1000 )
, тобто
2000 ⋅ 1000 =
A ⋅ 2 ⋅ 103 ⋅ 10 ,
A =
2000 ⋅ 1000
= 100 .
2000 ⋅ 10
Отже,
виробнича функція y = 100 ⋅ K
L
. Середня фондовід-
дача
рівна
k =
y
=
2000 ⋅ 1000
=
, а середня продуктивність
K
l =
y
=
2000 ⋅ 1000
= 2000.
L
Частинні похідні функції багатьох змінних
Ми розглянули випадок функції двох змінних. Для функції u = f ( x1 , x2 ,..., xn ) означення частинних похідних вводиться ана-
логічно і знаходиться n частинних похідних:
∂u
,
∂u
,...,
∂u
.
∂x1
∂x2
∂xn
Очевидно, що для функцій багатьох змінних можна викорис-товувати відомі правила диференціювання, включаючи таблиці по-хідних, які отримані для функцій однієї змінної.