Геометричний зміст частинних похідних

Частинним похідним першого порядку можна дати гео-метричну інтерпретацію по аналогії з геометричним змістом похідної для функції однієї змінної.

Нехай функція z = f ( x , y ) зображується в просторі де-якою поверхнею. Спроектуємо точку M ( x₀, y₀, z₀) цієї повер-хні на площину x0 y і отримаємо точку M₀( x₀, y₀) (мал.9).

	С	F	В	z=f(x,y)
		M(x₀,y₀,z₀)
		O	y₀	y
	x₀			β
			^M0^(x0^,y0_D	T
x	А
α
	S			Мал.9
При знаходженні	^∂^z покладемо y = y₀ , тоді будемо мати
		∂x

z=f(x,y₀).Ця функція однієї змінної має графіком криву AB,яка розміщена в площині y=y₀. З геометричної точки зору час-

тинна похідна _∂^∂^z в точці M₀( x₀, y₀) дорівнює tgα (по анало-x

гії з функцією однієї змінної), оскільки дотична MS до кривої AB утворює з віссю Ox кут α.

Таким чином ^∂^z( x₀, y₀) = tgα

∂x

Перетнемо тепер поверхню z = f ( x , y ) площиною x = x₀ .Отримаємо функцію z = f ( x₀ , y ) ,графіком якої є крива

CD .Тоді дотична MT в точці	M ( x₀ , y₀ ,z₀ ) до кривої
CD утворює з віссю 0 y кутβ.Тому	∂z	( x₀ , y₀ ) = tgβ.

	∂y

Приклад 1..Знайти частинні похідні функціїz=e ^x ²⁺^y ³⁺³ .Розв’язування. Використовуємо табличну похідну

( e^u )′= e^uu′.

z′	₌ _e x ² + y ³ + 3	( x²	+ y³ + 3 )′	₌ _e x ² + y ³ + 3 _⋅ _{2 x} ₌ _{2 xe} x ² + y ³ + 3 _.
x			x
Аналогічно
z′	₌ _e x ² + y ³ + 3	( x²	+ y³ + 3 )′	₌ _e x ² + y ² + 3 _⋅ _{3 y}2 ₌ _{3 y}2_e x ² + y ² + 3 _.
y			y

4.3. Економічний зміст частинних похідних Відповідним чином можна надати економічного змісту час-

тинним похідним.
Розглянемо в	якості прикладу функцію Кобба-Дугласа
y = A ⋅ K ^α L^β
Величину l =	y	будемо називати середньою продуктивністю
L

праці(кількість продукції,виробленої одним робітником).

Величину k = ^y будемо називати середньою фондовіддачею

(кількість продукції, що вироблена одним верстатом).

Величину f = ^K назвемо середньою фондоозброєністю

(фондоозброєність-це вартість фондів,що припадають на одиницютрудових ресурсів).

Зафіксуємо біжучий стан підприємства, тобто об’єм фондів K і число працівників L .Їм відповідає випуск продукції y = y( K , L ) .Якщо найняти ще одного працівника,то приріст випу-

ску продукції

y = y( K , L + 1 ) − y( K , L ) .

y′

( K , L ) L

А це є частковий приріст функції по

і тому

≈

Оскільки

то

≈

y′ ( K , L ).

Отже, частинна похідна від виробничої функції по об’єму трудових ресурсів приблизно рівна додатковій вартості продукції, що вироблена ще одним робітником. Тому похідна

y′=βA ⋅ K ^α⋅ L^{β −} ¹

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Неперервність функції двох змінних в точці	\|	Називається граничною продуктивністю праці.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.