Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Неперервність функції двох змінних в точці

 

Означення4. Функція z = f ( x , y ) називається неперервною

 

в точці M0 ( x0 ; y0 ), якщо вона задана в цій точці та деякому її околі і виконується умова

        lim f ( x , y ) = f ( x0 , y0 ). (5.2)  
        x → x0    
        y → y0    
Для неперервних функцій двох змінних справедливі ті ж тео-  
реми, що і для функції однієї змінної.    
Приклад 2.Дослідити на неперервність функцію    
  x2 y2    
z =   +   в точці O( 0;0 ).    
   
         

Розв’язування.Знайдемо повторні границі:

    x2   y2       x2  
lim lim     +     = lim     = 0;  
         
                 
x →0 y0   x →0      
    x2   y2       y2  
lim lim     +     = lim     = 0.  
         
                 
y →0 x0   y →0      

Будемо наближатись до точки О(0,0) по довільній прямій y=kx, тоді:

  x2       y2       x2 y2     x2 k 2 x2    
lim     +         = lim   +     = lim     +     =  
                   
                             
xy00         xy0kx     x →0        
            k 2                            
= lim x     +         = 0.                        
                                 
x →0                                      
                                     

 


З того, що всі границі рівні і співпадають із значенням функції

 

в точці O( 0;0 ) , випливає неперервність функції в цій точці.

 

Аналогічно вводимо поняття границі та неперервності в точці для функції u = f ( x1, x2,..., xn).

 

Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних

 

Частинні похідні першого порядку

 

Розглянемо функцію двох змінних z = f ( x , y ). Нехай вона задана в точці M0( x0; y0) і в деякому околі цієї точки. Покладемо y = y0 , а значенню x0 надамо приросту x. Тоді частинний при-

 

ріст по x матиме вигляд xz = f ( x0 + x , y0)f ( x0, y0).  
Складемо тепер відношення частинного приросту функції
x z до приросту аргументу x і знайдемо границю lim xz . Як-
x →0 x

що така границя існує, то ми назвемо її частинною похідною першо-

го порядку функції z = f ( x , y ) по x і позначимо z або ∂z :    
     
                                          x     x    
                ) =z( x0, y0) =f ( x0, y0) = lim        
z′ ( x , y xz . (5.3)  
x               ∂x         x     x→0 x    
                                   
Аналогічно вводиться поняття частинної похідної першого  
порядку по y .У цьому випадку фіксуємо значення x = x0 , а зна-  
ченню   y0 ,       надаємо   приросту   y. Тоді  
y z = f ( x0 , y0 + y ) − f ( x0 , y0 ) і відповідно            
z′ ( x           ) = z( x 0 , y 0 ) = f ( x 0 , y 0 ) = lim   y z    
, y                 .     (5.4)  
                             
y             ∂y       y     y →0 y    
                               

Із означення частинних похідних випливає таке правило ди-

 

ференціювання: щоб знайти частинну похідну функції z = f ( x, y )

 

по x , вважаємо y постійною величиною, а x - змінною. Щоб знайти частинну похідну по y , вважаємо x постійною величи-ною, а y - змінною.


 



Читайте також:

  1. Cинтаксис опису змінних
  2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
  4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
  6. АНОДНИХ ТА ЗНАКОЗМІННИХ ЗОН
  7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  8. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  9. Асимптоти графіка функції
  10. Асимптоти графіка функції
  11. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
  12. Базові функції, логічні функції




Переглядів: 935

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Границя функції двох змінних | Геометричний зміст частинних похідних

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.