Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах

РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання

ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"

ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ

Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків

Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні

Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах

Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами

ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ

ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів


Контакти


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Неперервність функції двох змінних в точці

 

Означення4. Функція z = f ( x , y ) називається неперервною

 

в точці M0 ( x0 ; y0 ), якщо вона задана в цій точці та деякому її околі і виконується умова

        lim f ( x , y ) = f ( x0 , y0 ). (5.2)  
        x → x0    
        y → y0    
Для неперервних функцій двох змінних справедливі ті ж тео-  
реми, що і для функції однієї змінної.    
Приклад 2.Дослідити на неперервність функцію    
  x2 y2    
z =   +   в точці O( 0;0 ).    
   
         

Розв’язування.Знайдемо повторні границі:

    x2   y2       x2  
lim lim     +     = lim     = 0;  
         
                 
x →0 y →0   x →0      
    x2   y2       y2  
lim lim     +     = lim     = 0.  
         
                 
y →0 x →0   y →0      

Будемо наближатись до точки О(0,0) по довільній прямій y=kx, тоді:
  x2       y2       x2 y2     x2 k 2 x2    
lim     +         = lim   +     = lim     +     =  
                   
                             
xy→→00         xy→→0kx     x →0        
            k 2                            
= lim x     +         = 0.                        
                                 
x →0                                      
                                     

 


З того, що всі границі рівні і співпадають із значенням функції

 

в точці O( 0;0 ) , випливає неперервність функції в цій точці.

 

Аналогічно вводимо поняття границі та неперервності в точці для функції u = f ( x1, x2,..., xn).

 

Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних

 

Частинні похідні першого порядку

 

Розглянемо функцію двох змінних z = f ( x , y ). Нехай вона задана в точці M0( x0; y0) і в деякому околі цієї точки. Покладемо y = y0 , а значенню x0 надамо приросту x. Тоді частинний при-

 

ріст по x матиме вигляд xz = f ( x0 + x , y0) − f ( x0, y0).  
Складемо тепер відношення частинного приросту функції
x z до приросту аргументу x і знайдемо границю lim xz . Як-
x →0 x

що така границя існує, то ми назвемо її частинною похідною першо-

го порядку функції z = f ( x , y ) по x і позначимо z′ або ∂z :    
     
                                          x     ∂x    
                ) =∂z( x0, y0) =∂f ( x0, y0) = lim        
z′ ( x , y xz . (5.3)  
x               ∂x         ∂x     x→0 x    
                                   
Аналогічно вводиться поняття частинної похідної першого  
порядку по y .У цьому випадку фіксуємо значення x = x0 , а зна-  
ченню   y0 ,       надаємо   приросту   y. Тоді  
y z = f ( x0 , y0 + y ) − f ( x0 , y0 ) і відповідно            
z′ ( x           ) = ∂z( x 0 , y 0 ) = ∂f ( x 0 , y 0 ) = lim   y z    
, y                 .     (5.4)  
                             
y             ∂y       ∂y     y →0 y    
                               

Із означення частинних похідних випливає таке правило ди-

 

ференціювання: щоб знайти частинну похідну функції z = f ( x, y )

 

по x , вважаємо y постійною величиною, а x - змінною. Щоб знайти частинну похідну по y , вважаємо x постійною величи-ною, а y - змінною.


 


Читайте також:

  1. Cинтаксис опису змінних
  2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  3. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
  4. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  5. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
  6. АНОДНИХ ТА ЗНАКОЗМІННИХ ЗОН
  7. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  8. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
  9. Асимптоти графіка функції
  10. Асимптоти графіка функції
  11. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
  12. Базові функції, логічні функції



Переглядів: 945

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Границя функції двох змінних | Геометричний зміст частинних похідних

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.