Границя функції двох змінних

Для функції двох змінних можна ввести поняття границі та

_у неперервності в точці M₀( x₀, y₀). Не-

_δ^М хай функція z = f ( x , y ) задана в околі

М0

точки M₀( x₀, y₀) (мал. 8). Під δ - око-

лом точки

M₀ будемо розуміти мно-

жину точок площини

x0 y , які задово-

льняють нерівностям

M₀ M

< δ

або

Мал.8

( x − x₀ )² + ( y − y₀ )² <δ .

Означення

Число b

називається границею функції

z = f ( x , y ) при

M → M₀ ( x → x₀ ; y → y₀ ),якщо

для будь-якого

ε> 0 існує таке

δ> 0 ,

що

як

тільки

M₀ M

<δ ,

то

f ( x , y ) − b

<ε .

Символічно це можна записати так: lim f ( x , y ) = b

(5,1)

x→ x₀

y→ y₀

Очевидно, що границя функції не повинна залежати від спо-собу наближення точки M до точки M₀.

Приклад 1.Знайти границю функціїz= x − y в точці О(0;0).

x + y

Розв’язування. Знайдемо спочатку границю функції, коли

y = 0 , x → 0 :

lim ^x ⁻ ^y = lim ^x = 1.

x →0 x + y x →0 x y = 0

Тепер знайдемо границю функції, коли x = 0 , y → 0 :

x − y y

lim = lim − =−1.

x →0 x + y

y→0 y

x = 0

Очевидно, що в цьому випадку границя функції не існує, тому що при наближенні до точки O( 0;0 ) з різних напрямків отриму-

ються нерівні границі.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Гіперповерхня рівня	\|	Неперервність функції двох змінних в точці

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.