Означення і властивості еластичності функцій
Нехай задана функція y = f ( x ) . Якщо аргумент
x одержав
приріст x і при цьому функція y одержала приріст
y ,то x
x
називають відносним приростом аргумента, а y - відносним при-y
ростом функції.
Означення . Границя відношення відносного приросту функ-ції до відносного приросту аргумента при умові, що приріст ар-гумента прямує до нуля, якщо існує, називається еластичністю функції.
Позначають еластичність функції
y = f ( x )
відносно змінної
x E x ( y ) .Тобто,
y
x
x
y
=
x
y
=
x
f ′( x ).
Ex ( y ) = lim
y
:
=
lim
⋅
lim
x→0
x
x→0 y x
y x→0 x y
Отже, якщо в точці x
функція має похідну, то еластичність визна-
чається формулою Ex( y ) = x ⋅ dy .y dx
Еластичність виражає наближений відсоток приросту функції, який відповідає 1% приросту аргумента.
Приклад. Знайти еластичність функціїy =x2 −4 x +7 і обчи-
слити її при x = 1,
x = 2,
x = 5.
Розв’язування.
x( 2 x − 4 )
E x ( y ) =
x
⋅
dy
=
x
( 2 x − 4 ) =
.
y dx x 2 − 4 x + 7
x 2 − 4 x + 7
1( 2 ⋅ 1 − 4 )
E( y / x = 1 ) =
= −
=−0 ,5 ,
12 − 4 ⋅ 1 + 7
E( y / x = 2
) =
2( 4 − 4 )
= 0 ,
4 − 8 + 7
E( y / x = 5
) =
5( 2 ⋅ 5 − 4 )
= 2,5.
25 − 20 + 7
Отже, якщо
x зросте на1%з1до1,01,то y спаде на0,5%.
Якщо x зросте на 1% з 2 до 2,02, то значення змінної y практично не зміниться. Якщо x зросте на 1% з 5 до 5,05, то y зросте на 2,5%.
◙ Властивості еластичності функції
ТЕОРЕМА 1. Еластичність добутку двох функцій дорівнює сумі еластичностей співмножників:
E x ( U ⋅V ) = E x ( U ) + E x (V ).
Доведення. За означенням еластичності
Ex
( U ⋅V ) =
x
( UV )′=
x
( U ′V + V ′U ) =
xU ′
+
xV ′
=
UV
UV
UV
= Ex ( U ) + Ex (V ).
ТЕОРЕМА 2. Еластичність частки двох функцій дорівнює різниці показників еластичності діленого і дільника:
U
= Ex ( U ) − Ex (V ) .
E x
V
Доведення. За означенням еластичності
U
x
U ′
Vx
U′V − V ′U
x
UV ′
Ex
=
=
⋅
=
U′ −
=
U
U
V 2
V
V
U
V
V
= xU ′ − xV = Ex ( U ) − Ex (V ).
U V
Читайте також:
А) Товар і його властивості. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій. Аеродинамічні властивості колісної машини Аналізатори людини та їхні властивості. Аналізатори людини та їхні властивості. Атрибутивні ознаки і властивості культури Аутентифікація з використанням односторонніх функцій Білки, властивості, роль в життєдіяльності організмів. Біосфера Землі, її характерні властивості Будова атомів та хімічний зв’язок між атомами визначають будову сполук, а отже і їх фізичні та хімічні властивості. Будова і властивості аналізаторів Будова, склад та фізичні властивості Землі
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: