Означення і властивості еластичності функцій

Нехай задана функція y = f ( x ) . Якщо аргумент	x одержав
приріст x і при цьому функція y одержала приріст	y ,то ^x
	x

називають відносним приростом аргумента, а ^y - відносним при-y

ростом функції.

Означення. Границя відношення відносного приросту функ-ції до відносного приросту аргумента при умові, що приріст ар-гумента прямує до нуля, якщо існує, називається еластичністю функції.

Позначають еластичність функції

y = f ( x )

відносно змінної

x E _x ( y ) .Тобто,

f ′( x ).

E_x ( y ) = lim

lim

⋅

lim

x→0

x→0 y x

y x→0 x y

Отже, якщо в точці x

функція має похідну, то еластичність визна-

чається формулою Ex( y ) = ^x ⋅ ^dy.y dx

Еластичність виражає наближений відсоток приросту функції, який відповідає 1% приросту аргумента.

Приклад.Знайти еластичність функціїy=x²−4 x+7і обчи-

слити її при x = 1,	x = 2,	x = 5.
Розв’язування.				x( 2 x − 4 )
E _x ( y ) =	x	⋅	dy	=	x	( 2 x − 4 ) =	.

	y dx x ² − 4 x + 7			x ² − 4 x + 7

				1( 2 ⋅ 1 − 4 )
E( y / _x ₌ ₁ ) =					= −	=−0 ,5 ,
		1² − 4 ⋅ 1 + 7
E( y / _x ₌ ₂	) =		2( 4 − 4 )	= 0 ,

				4 − 8 + 7
E( y / _x ₌ ₅	) =	5( 2 ⋅ 5 − 4 )	= 2,5.

				25 − 20 + 7
Отже, якщо			x зросте на1%з1до1,01,то y спаде на0,5%.

Якщо x зросте на 1% з 2 до 2,02, то значення змінної y практично не зміниться. Якщо x зросте на 1% з 5 до 5,05, то y зросте на 2,5%.

◙ Властивості еластичності функції

ТЕОРЕМА 1. Еластичність добутку двох функцій дорівнює сумі еластичностей співмножників:

E _x ( U ⋅V ) = E _x ( U ) + E _x (V ).

Доведення. За означенням еластичності

E_x	( U ⋅V ) =	x	( UV )′=	x	( U ′V + V ′U ) =	xU ′	+	xV ′	=
UV	UV
				UV

= E_x ( U ) + E_x (V ).

ТЕОРЕМА 2. Еластичність частки двох функцій дорівнює різниці показників еластичності діленого і дільника:

= E_x ( U ) − E_x (V ) .

^E_x

Доведення. За означенням еластичності

U ^′

U′V − V ′U

UV ′

E_x

⋅

U′ −

V ²

= ^xU^′− ^xV = E_x ( U ) − E_x (V ).

U V

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Еластичність функції	\|	Еластичність попиту відносно ціни

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.015 сек.