Вивчення зв’язків і закономірностей, які існують в матеріаль-ному світі, часто приводять до функції не однієї, а багатьох змінних. Ці функції дозволяють виражати більш складні залежності, ніж фу-нкції однієї змінної. Тому теорія функцій багатьох змінних має ши-роке практичне застосування в різних галузях.
1.1. Означення функції багатьох змінних.
Функція двох змінних та її графічне зображення
Змінні x1, x2,..., xn називаються незалежними між собою, як-
що кожна із них може приймати довільні значення в своїй області зміни незалежно від того, які значення приймають при цьому інші змінні.
Означення1. Функцією багатьох змінних u = f ( x1 ,x2
,...,xn )
називається така закономірність,
при якій змінним x1 , x2
,..., xn
із деякої множини
D ⊂ Rn ставиться у відповідність одне зна-
чення u із множини E ⊂ R′ .
Наприклад:
z = x2 + y2 ,
z =
xy , u = x2 + y2 + z2 .
Множина D називається областю визначення функції
u = f ( x1 ,..., xn ), а множина E -
область значень цієї функції. На-
приклад, функція z =
9 − x2 − y2
задана для всіх x і y , для яких
виконується нерівність x2 + y2 ≤ 9. У даному випадку областю ви-
значення функції є круг на площині x0 y з центром в точці O( 0;0 ) і радіу-
сом R=3 Область значень цієї функції
E =[0 ;3].
Частинним випадком функції ба-гатьох змінних є функція двох змінних z = f ( x , y ), для якої можна дати по-
няття графіка функції. В загальному випадку графіком такої функції є пове-рхня у трьохвимірному просторі R3
z
O y
Мал.1
Приклад 1. z=x2+y2 .Графіком цієї функції є параболоїдобертання (мал.1).