Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах

РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання

ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"

ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ

Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків

Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні

Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах

Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами

ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ

ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів


Контакти


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Інтегрування тригонометричних функцій

 

При інтегруванні тригонометричних функцій важливо вміти використовува-ти тригонометричні формули, вдало підібраною заміною або підстановкою, звести інтеграл до простішого (дробово-раціонального виразу), а в результаті і до таблич-ного. Є деякі види інтегралів (проте не всі) для яких є правила їх знаходження.

а)Інтеграли виду∫sinm x ⋅ cosn xdx.

Якщо хоча б одне із чисел m або n додатне ціле непарне число, наприклад m,то вводимо заміну cosx=t.Тоді

sin x =     1 − cos2 x =     1 − t 2   , dx = −     dt  
                .      
               
Якщо ж n – додатне непарне, то sinx= t,   1 − t 2  
             
cos x = 1 − sin2 x = 1 − t 2 , dx =         dt .          
                     
      1 − t 2        
                                               
Приклад 17.Знайти∫sin3 x⋅cos2 xdx              
Розв’язування.∫ sin3 x ⋅ cos2 xdx =∫sin2 x cos2 x ⋅ sin xdx =  
=−∫ ( 1 − t 2 )t 2 1 − t 2     dt       =−∫( t 2 − t 4 )dt =  
             
    1 − t      
                                                   
=−( t 3 −   t ) + C =− cos3 x +   cos5 x + C .  
   
                                   
Якщо m та n парні невід’ємні числа, то понижають степені за формулами:  
cos2 x = 1 + cos 2 x ; sin2 x = 1 − cos 2 x ; sin x cos x = sin 2 x .  
       
                                 


 

 


Приклад 18.Знайти∫cos 2   xdx        
Розв’язування.                      
∫ cos 2 xdx =∫ 1 + cos 2 x dx = ∫( 1 + cos 2 x )dx =  
         
                         
= ( x +   sin 2 x ) + C = x + sin 2 x + C .  
         
               
                                 

б)Інтеграли виду∫sinmx cosnxdx ,∫sinmx sinnxdx ,∫cosmxcosnxdx.

 

Ці інтеграли спрощуються застосуванням формул перетворення до-бутку тригонометричних функцій в суму:

∫sin mx cos nxdx = 21 ∫(sin( m + n )x + sin( m − n )x )dx ,

 

∫ sin mx sin nxdx = 21 ∫(cos( m − n )x − cos( m + n )x )dx ,∫ cos mx cos nxdx = 21 ∫(cos( m − n )x + cos( m + n )x )dx.

Такі інтеграли мають широке застосування в теорії рядів Фур’є.

Приклад 19.Знайти∫sin5 x cos 3 xdx.

∫sin5x cos3xdx = ∫(sin8x + sin2x )dx =− cos8x − cos2x + C.  
       
   

в)Інтеграли виду∫R(sin x ,cos x )dx ,

 

універсальна тригонометрична підстановка.

Для інтегралів виду ∫R(sin x ,cos x )dx , де R(sin x ,cos x ) -

 

раціональна функція відносно   sin x,cos x ,часто   застосовують  
універсальну підстановку. Це підстановка   tg x = t . (6.26)  
     
                                                         
          2tg     x       2t           1 − tg2 x   1 − t 2    
                                        = ,  
Тоді: sin x =             =     , cos x =  
        2 x     + t 2       2 x    
          1 + tg         1 + tg   1 + t 2  
                                           
                                                   
  x = arctgt , x = 2arctgt , dx =   2dt .                      
  1 + t 2                      
                                                       

 


    Приклад 20.Знайти∫         dx           .                  
                                         
    + sin x − cos x                    
                                       
                  2dt                                  
    dx                                   2dt     dt   dt  
∫   = ∫         1 + t       = ∫       = ∫   = ∫  
                                       
+ sin x − cos x             1 − t     2t + 2t t + t t( t + 1 )  
  +   2t   −                  
        + t 1 + t                            
                                         

і далі інтегруємо як раціональний дріб. (Пункт 6.1.5.)+ Інтегрування тригонометричних функцій та інтегрування

 

ірраціональних функцій, вдало підібраною заміною, часто зводиться до інтеграла від раціонального дробу, який завжди інтегрується.

 

Читайте також:

  1. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
  2. Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
  3. Безпосереднє інтегрування
  4. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
  5. Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
  6. Види функцій державного управління
  7. Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
  8. Використання функцій
  9. Властивості неперервних на відрізку функцій
  10. Властивості та графіки тригонометричних функцій
  11. Властивості тригонометричних функцій
  12. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій



Переглядів: 1521

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Інтегрування раціональних дробів | Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.01 сек.