Інтегрування тригонометричних функцій

При інтегруванні тригонометричних функцій важливо вміти використовува-ти тригонометричні формули, вдало підібраною заміною або підстановкою, звести інтеграл до простішого (дробово-раціонального виразу), а в результаті і до таблич-ного. Є деякі види інтегралів (проте не всі) для яких є правила їх знаходження.

а)Інтеграли виду_∫sin^m x ⋅ cosⁿ xdx.

Якщо хоча б одне із чисел m або n додатне ціле непарне число, наприклад m,то вводимо заміну cosx=t.Тоді

sin x = 1 − cos² x = 1 − t ² , dx = − dt

.

Якщо ж n – додатне непарне, то sinx= t, 1 − t ²

cos x = 1 − sin² x = 1 − t ² , dx = dt .

1 − t ²

Приклад 17.Знайти_∫sin³ x⋅cos² xdx

Розв’язування._∫ sin³ x ⋅ cos² xdx =_∫sin² x cos² x ⋅ sin xdx =

=−_∫ ( 1 − t ² )t ² 1 − t ² dt =−_∫( t ² − t ⁴ )dt =

1 − t

=−( _t 3 − t ) + C =− cos³ x + cos⁵ x + C .

Якщо m та n парні невід’ємні числа, то понижають степені за формулами:

cos² x = 1 + cos 2 x ; sin² x = 1 − cos 2 x ; sin x cos x = sin 2 x .

Приклад 18.Знайти_∫cos ² xdx

Розв’язування.

_∫ cos ² xdx =_∫ 1 + cos 2 x dx = _∫( 1 + cos 2 x )dx =

= ( x + sin 2 x ) + C = x + sin 2 x + C .

б)Інтеграли виду_∫sinmx cosnxdx ,_∫sinmx sinnxdx ,_∫cosmxcosnxdx.

Ці інтеграли спрощуються застосуванням формул перетворення до-бутку тригонометричних функцій в суму:

_∫sin mx cos nxdx = ₂¹ _∫(sin( m + n )x + sin( m − n )x )dx ,

_∫ sin mx sin nxdx = ₂¹ _∫(cos( m − n )x − cos( m + n )x )dx ,_∫ cos mx cos nxdx = ₂¹ _∫(cos( m − n )x + cos( m + n )x )dx.

Такі інтеграли мають широке застосування в теорії рядів Фур’є.

Приклад 19.Знайти_∫sin5 x cos 3 xdx.

_∫sin5x cos3xdx = _∫(sin8x + sin2x )dx =− cos8x − cos2x + C.

в)Інтеграли виду_∫R(sin x ,cos x )dx ,

універсальна тригонометрична підстановка.

Для інтегралів виду _∫R(sin x ,cos x )dx , де R(sin x ,cos x ) -

раціональна функція відносно sin x,cos x ,часто застосовують

універсальну підстановку. Це підстановка tg x = t . (6.26)

2tg x 2t 1 − tg² x 1 − t ²

= ,

Тоді: sin x = = , cos x =

2 ^x + t ² 2 ^x

1 + tg 1 + tg 1 + t ²

x = arctgt , x = 2arctgt , dx = 2dt .

1 + t ²

Приклад 20.Знайти_∫ dx .

+ sin x − cos x

2dt

dx 2dt dt dt

∫ = _∫ 1 + t = _∫ = _∫ = _∫

+ sin x − cos x 1 − t 2t + 2t t + t t( t + 1 )

+ 2t −

+ t 1 + t

і далі інтегруємо як раціональний дріб. (Пункт 6.1.5.)+ Інтегрування тригонометричних функцій та інтегрування

ірраціональних функцій, вдало підібраною заміною, часто зводиться до інтеграла від раціонального дробу, який завжди інтегрується.

Читайте також:
Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
Безпосереднє інтегрування
Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
Види функцій державного управління
Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
Використання функцій
Властивості неперервних на відрізку функцій
Властивості та графіки тригонометричних функцій
Властивості тригонометричних функцій
Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій

Переглядів: 1470

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Інтегрування раціональних дробів | Інтегрування деяких ірраціональних функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.