Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Інтегрування раціональних дробів

 

Функціями, які завжди інтегруються, є раціональні дроби. Не-

 

хай P( x ) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn і

 

Q( x ) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bm xm два многочлени з дійсними

коефіцієнтами. Вираз P( x ) називається раціональним дробом.

Q( x )

 

Якщо степінь чисельника менша за степінь знаменника, то дріб називається правильним. Якщо ж степінь чисельника більша


 


або дорівнює степеневі знаменника то дріб називається неправиль-

 

ним.Так,наприклад, 5 x3 4 x + 7 - правильний дріб, а дріб  
2 x5 6 x2  
     

7 x5 5 x3 + 3 x 9 -неправильний.

6 x2 + 8 x 4

 

Теорема Вейєрштраса про наближення. Будь-яку функцію f(x), неперервну на(а,b),можна з наперед заданою довільноюпохибкою замінити многочленом

 

P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + ...+ an xn .

 

Тобто, практично, багато інтегралів можна звести до інтегрування раціональних функцій. З алгебри відомо, що всякий многочлен можна розкласти на добуток множників виду ( xb ) та

 

( x2 + px + q ), так званих незвідних многочленів, де ( x2 + px + q ) –

 

квадратний тричлен, який немає дійсних коренів. І всякий правиль-ний дріб можна розкласти на суму простих:

 

А , В , Мx + N , Mx+ N . (6.20)
x − b ( x b )k   x2 + px + q ( x2 + px + q )r    

Це роблять методом невизначених коефіцієнтів.

Метод невизначених коефіцієнтів

Метод невизначених коефіцієнтів дає алгоритм для знаход-ження коефіцієнтів розкладу правильного раціонального дробу на суму простих.

Нехай

P( x )             a + a x + a x2 + ...+ a k xk                  
        =                                     =    
Q( x )   ( x − α )m ...( x − β )n ...( x2 + px + q )l ...( x2 + rx + s )t      
=   A1 +   A2     + ...+     Am   + ...+     B1 +   B2   + ...+    
  x − α   ( x − α )2 ( x − α )m   x − β ( x − β )2      
+     Bn     + ...+   M1 x + N1   +     M2 x + N 2   + ...+   Ml x + Nl +  
  ( x − β )n                           ( x2 + px + q )l  
          x2 + px + q ( x2 + px + q )2          
      E1 x + F1     E2 x + F2         El x + Fl              
...+   +       + ...+   .   (6.21)  
x2 + rx + s   ( x2 + rx + s )2 ( x2 + rx + s )t    
                                                                     

Зводимо праву частину рівності до спільного знаменника. Прирівнюємо відповідні коефіцієнти чисельника лівої частини з коефіцієнтами чисельника правої. Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язки її є коефіцієнтами розкладу.


 


  Приклад 12.                  
  5 x3 + 3x 9 A   A     B  
                     
      =       +   +     +  
( x − 6 )2 ( x + 4 )( x2 + 3x + 11 )3 x − 6 ( x − 6 )2 ( x + 4 )  
  M1 x + N1 M2 x + N2     M3 x + N3          
+   +     +   .  
x2 + 3 x + 11 ( x2 + 3 x + 11 )2 ( x2 + 3 x + 11 )3  

 

Це приклад розкладу правильного раціонального дробу на су-му простих, де А1 , А2 , В, Мі , Nі -невизначені коефіцієнти.

Приклад 13.Знайти інтеграл     9 х + 8   dx .  
  х  
  9 х + 8     + х    
Розв’язування. - правильний дріб. Розкладаємо  
х3 + х − 10  

знаменник на добуток незвідних множників:

 

х3 + х 10 = ( х 2 )( х2 + 2 х + 5 ) .Для рівняння х2 ++ 5 = 0 , D=4-20<0. Тому рівняння немає дійсних коренів.

Отже   9 х + 8     =         9 х + 8     = А   +   Мх + N     .  
х3 + х                   х −              
        10 ( х − 2 )( х2 + 2 х + 5 )     х2 + 2 х + 5  
      Звівши до спільного знаменника і прирівнявши чисельники  
одержимо: + 8 = + М)х2 + ( 2А + N )x + 5 A2 N .        
      Прирівнюючи відповідні коефіцієнти отримуємо:            
        А+ М = 0 ,         А =− М ,                            
                            М + N = 9,                      
      2 А− + N = 9, ⇒− 4                      
                                                               
      5 А− 2 N = 8.       5 M 2 N = 8.                      
N = 9 + 4 M ; 13M 18 = 8; 13M = 26 ; M =−2; N = 1; A = 2 .  
      Ми одержали інтеграли від дробів (6.20). Отже:              
  9х+ 8   dx = (   +   + 1   )dx =       dx +   +     dx  
х         х− 2 х ++   х− 2 х + 2х +  
    + х− 10                          

Знайдемо, відповідні простим дробам (6.20) інтеграли, а потім за-вершимо приклад, використавши одержані результати.

 

Інтеграли від найпростіших раціональних дробів

а) Аdx = Аln   x − b   + C . (6.21)  
     
   
  x − b            
         

При розв’язуванні використано формулу (6.7) та табличний


 


інтеграл du   = ln   u   + C .                                                          
                                                               
u               ( x − b ) k + 1                        
                                                                                 
    б)       Вdx       = В( x b ) k dx = В + C . (6.22)  
      k   k + 1  
                  ( x − b )                                                                                
                      Mх+ N                               M   ( 2x + p)+ ( N Mp )                       + p  
    в)                   dx=           M   2x  
                                                           
                                  dx=           dx+  
x2 + px+ g           x2 + px+ g       x2 + px+ g  
                                                                                                                             
      Mp )       dx                         M                       Mp )               dx            
                                                                           
+ ( N                           =       lnx2 + px+ g   + ( N                     =  
                               
        x + px+ g                           p    
                                                                                                                 
                                                                        ( x + )2 + ( g p )  
                                                                                                       
 
= M ln   x 2 + px + g     2 N − Mp arctg 2 x + p     + C .         (6.23)  
                 
                                 
                                                                                                                     
                                                    4 g − p       4 g − p                                
                                                               
                                                                       
                                                                           
                                    2 x − 2                                                
                                                                                                         
    Приклад 14.Знайти       dx .                                  
    x2 4 x + 8                                  
    Використовуючи формулу (6.23) запишемо                        
                                                                                                                     
            2 x − 2           dx =                                                                          
      x2 4 x + 8                                                                          
= ln x2 4 x + 8 4 arctg 2 x 4 + C = ln x2 4 x + 8 arctg х 2 + C .
                                                                                                             

Проте, на практиці, цю громіздку формулу застосовують рідко

 

а інтеграл шукають, виділивши в знаменнику повний квадрат.

 

x 2 4 x + 8 = x2 4 x + 4 + 4 = ( x 2 )2 + 22 .Зробимо заміну (х-2)=u.

Тоді       2 x − 2   dx =   2u + 2   du =     2u       du +         du =  
  x − 4 x + 8     u   + 4   u + 2 u + 2  
                                                           
  = ln   u2 + 4   + arctg u + C = ln   ( x − 2 )2 + 4   + arctg x − 2 + C .  
           
             
                                                                                             
г)     Mх + N                                                              
      dx . Виділивши   в знаменнику   повний квадрат,  
  ( x 2 + px + g )k        
визначаємо заміну: x = t q − p2   p , dx = q − p2     dt .Ввівши її,одержуємо суму  
                   
                                                                                     
двох                                                                                                        
                p2   tdt                         p         p2             dt                  
виразів: M ( q     )       + ( N M     ) q −         .            
  ( t 2 + 1 )k         ( t 2+1 )k            



Інтеграл               tdt     знаходимо, наприклад, новою заміною t2 + 1 = u , tdt = du .  
                     
+ k  
      ( t 1 )                                  
Інтеграл               dt     знайдемо, вивівши рекурентну формулу.  
                 
    ( t 2+1 )k  
dt =( t 2 + 1 )k +1 dt = t( t 2 + 1 ) k +1td( t 2 + 1 )k +1 =  
( t 2 + 1 )k 1  
= t( t 2 + 1 )k+1 + ( k 1 ) 2t 2dt   = t( t 2 + 1 )k+1 +і далі  
     
( t 2 + 1 )k  
+ 2( k 1 )   dt 2( k 1 ) dt .          
( t 2 + 1 )k1 ( t 2 + 1 )k        
    dt                     t 2k − 3     dt        
    =     +         . Це є рекурентна формула, якою  
( t 2 + 1 )k     2( k − 1 )( t 2 + 1 ) 2k − 2 ( t 2 + 1 )k1  
понижується порядок знаменника. Використавши її (к-1) раз приходимо до  
інтеграла dt , який є табличним.       dt = arctgt + C .  
t 2 +1     t 2 + 1  

Ми розглянули чотири випадки до яких зводиться інтегрування правильних раціональних дробів.Завершимо розв’язування прикладу 13, використовуючи виведені формули:

dx =2 ln   x − 2   + C .                                    
                                       
                                     
    х− 2                                                        
                                           

Читайте також:

  1. Альтернативні уявлення щодо макроекономічного регулювання: теорії раціональних сподівань та економіка пропозиції. Крива Лафера.
  2. Безпосереднє інтегрування
  3. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
  4. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
  5. Вироблення та реалізація раціональних управлінських рішень.
  6. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
  7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
  8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
  9. Диференціювання та інтегрування матриць.
  10. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
  11. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
  12. Інтегрування господарства економіки України до у світовий економічний простір




Переглядів: 864

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Приклад 4. | Інтегрування тригонометричних функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.017 сек.