• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інтегрування раціональних дробів

Функціями, які завжди інтегруються, є раціональні дроби. Не-

хай P( x ) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ і

Q( x ) = b₀ + b₁ x + b₂ x² + ... + b_m x^m два многочлени з дійсними

коефіцієнтами. Вираз ^{P( x )} називається раціональним дробом.

Q( x )

Якщо степінь чисельника менша за степінь знаменника, то дріб називається правильним. Якщо ж степінь чисельника більша

або дорівнює степеневі знаменника то дріб називається неправиль-

7 x⁵ − 5 x³ + 3 x − 9 _{-неправильний.}

6 x² + 8 x − 4

Теорема Вейєрштраса про наближення. Будь-яку функцію f(x), неперервну на(а,b),можна з наперед заданою довільноюпохибкою замінити многочленом

P( x ) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + ...+ a_n xⁿ .

Тобто, практично, багато інтегралів можна звести до інтегрування раціональних функцій. З алгебри відомо, що всякий многочлен можна розкласти на добуток множників виду ( x − b ) та

( x² + px + q ), так званих незвідних многочленів, де ( x² + px + q ) –

квадратний тричлен, який немає дійсних коренів. І всякий правиль-ний дріб можна розкласти на суму простих:

Це роблять методом невизначених коефіцієнтів.

◙ Метод невизначених коефіцієнтів

Метод невизначених коефіцієнтів дає алгоритм для знаход-ження коефіцієнтів розкладу правильного раціонального дробу на суму простих.

Нехай

Зводимо праву частину рівності до спільного знаменника. Прирівнюємо відповідні коефіцієнти чисельника лівої частини з коефіцієнтами чисельника правої. Отримуємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язки її є коефіцієнтами розкладу.

Це приклад розкладу правильного раціонального дробу на су-му простих, де А₁ , А₂ , В, М_і , N_і -невизначені коефіцієнти.

знаменник на добуток незвідних множників:

х³ + х − 10 = ( х − 2 )( х² + 2 х + 5 ) .Для рівняння х² + 2х+ 5 = 0 , D=4-20<0. Тому рівняння немає дійсних коренів.

Знайдемо, відповідні простим дробам (6.20) інтеграли, а потім за-вершимо приклад, використавши одержані результати.

◙ Інтеграли від найпростіших раціональних дробів

При розв’язуванні використано формулу (6.7) та табличний

∫

2 x − 2

dx =

x2 − 4 x + 8

= ln x2 − 4 x + 8 − 4 arctg 2 x − 4 + C = ln x2 − 4 x + 8 − arctg х − 2 + C .

Проте, на практиці, цю громіздку формулу застосовують рідко

а інтеграл шукають, виділивши в знаменнику повний квадрат.

x ² − 4 x + 8 = x² − 4 x + 4 + 4 = ( x − 2 )² + 2² .Зробимо заміну (х-2)=u.

Ми розглянули чотири випадки до яких зводиться інтегрування правильних раціональних дробів.Завершимо розв’язування прикладу 13, використовуючи виведені формули:

Читайте також:

1. Альтернативні уявлення щодо макроекономічного регулювання: теорії раціональних сподівань та економіка пропозиції. Крива Лафера.
2. Безпосереднє інтегрування
3. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
4. Вибір раціональних способів усунення заданих дефектів
5. Вироблення та реалізація раціональних управлінських рішень.
6. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.
7. Властивості множини невід’ємних раціональних чисел.
8. Десяткові дроби, їх порівняння, операції над ними. Перетворення десяткових дробів у звичайні та звичайних у десяткові.
9. Диференціювання та інтегрування матриць.
10. Додавання і віднімання невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність суми і різниці. Властивості (закони) додавання.
11. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції
12. Інтегрування господарства економіки України до у світовий економічний простір

Переглядів: 845