Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Приклад 4.

( 3 cos x 5 2 x + )dx =3 cos xdx5 2 x dx + dx =  
     
    x   x  
= 3 sin x − 5   2 x + ln x + C .  
   
               

Ln 2

 

При інтегруванні цього виразу враховано те, що сталий множ-ник виноситься за знак інтеграла, а також те, що сума довільних сталих інтегрування є теж стала і її записують як одну.

Метод підстановки ( метод заміни змінної).

 

Метод полягає в тому, що вводиться нова змінна x = ϕ( t ) , або t = ψ( x ) . Вдалою заміною часто вдається суттєво спростити

 

інтеграл і навіть звести його до табличного.

 

Нехай x = ϕ( t ) - диференційована функція від t, похідна ϕ′( t ) якої зберігає знак на проміжку інтегрування.

Формулу заміни змінної f ( x )dx = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt одержу-

 

ємо на основі властивості інваріантності невизначеного інтеграла (теорема 8) і, врахувавши, що dx = ϕ′( t )dt . Для доведення проди-

 

ференціюємо праву і ліву частини формули d f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .

d f ( x )dx = f ( x )dx = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .Формула доведена.


 

 


Приклад 5.Знайтиtg( x3 )dx.

 

Розв’язування.При інтегруванні даного виразу вводимо замі-

 

ну t=cos(x-3). Тоді dt=dcos(x-3)= -sin(x-3)dx. Одержуємо

tg( x 3 )dx = sin( x − 3 )dx = − dt =− ln   t   + C =− ln   x − 3   + C .    
           
               
    cos( x − 3 )           t                            
                     
Приклад 6.Знайтиe x 2+3 xdx.    
Розв’язування.Вводимо заміну x2 + 3 = t .Визначаємо    
dt = 2 xdx .Врахувавши,що xdx = dt , одержуємо    
     
                                               
e x 2 + 3 xdx =et dt = et + C = e x 2 + 3 + C .    
       
                                             
Розглянемо ще дві важливі формули, які суттєво пришвид-  
шують інтегрування:   f ( ax + b )dx = F ( ax + b ) + C (6.17)  
     
            u′( x )                       a    
та   dx = ln   u( x )   + C . (6.18)  
       
     
          u( x )            
                 

Виведемо їх. Якщо f ( u )du = F ( u ) + C і u = ax + b -

 

лінійна функція від х, то du = d( ax + b ) = adx . Підставивши в вираз для інтеграла, одержимо f (ax+ b)d(ax+ b) = a f (ax+ b)dx=F(ax+ b)+ C .

 

З останньої рівності випливає, що

 

f ( ax + b )dx = 1 F ( ax + b ) + C .

a

  Друга формула виводиться на основі формули du = ln   u   + C  
       
     
з врахуванням того, що du( x ) = u( x )du .         u          
                     
  Приклад 7.e5 x6 dx= e5 x 6 + C ,                      
                         
                                   
  Приклад 8.Знайти   dx .  
             
  ( х + 8 )ln( x + 8 )  
                             
  Розв’язування.                              
  dx = (ln(x + 8 )) dx = lnln( x + 8 )   + C .  
     
( х + 8 )ln( x + 8 )    
    ln( x + 8 )                      
                         


 


Метод інтегрування частинами

 

Нехай задано дві неперервно диференційовані функції u(x) i

v(x).Розглянемо диференціал добутку: d( uv ) = udv + vdu.
Проінтегруємо цей вираз d(uv ) = udv + vdu . Перетворивши
одержуємо формулу інтегрування за частинами:  
  udv = uvvdu . (6.19)

Застосовуючи цю формулу, підінтегральний вираз f ( x )dx

 

подають у вигляді добутку множників u і dv . Для даного методу має велике значення правильний вибір функцій u і v. Необхідно, щоб множник dv був виразом, який інтегрується. Є декілька видів інтегралів, для яких правила вибору функцій u і v відомі.

а)Pn ( x )eαxdx,Pn( x )sin(αx )dx,Pn ( x )cos(αx )dx.

Підінтегральний вираз містить добуток многочлена на триго-нометричну, або многочлена на показникову функції. Вибираємо за u многочлен,а за dv -вираз,що залишився.

Приклад 9.Обчислитиx sin 3 xdx.

 

Розв’язування.Застосовуємо метод інтегрування за частинами

(6.19): udv= uvvdu. Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx.

Тоді du=dx, v= ∫sin 3 xdx = − 1 cos3x. Одержуємо

3

x sin3xdx =− 1 x cos3x + 1cos3xdx =− 1 x cos3x + 1 sin3x + C .

3339

б) Pn( x )ln xdx , Pn( x )arcsinxdx, Pn( x )arccosxdx ,

Pn( x )arctgxdx,Pn ( x )arcctgxdx .

 

Підінтегральний вираз - добуток многочлена на логарифмічну або многочлена на аркфункцію. За dv беремо добуток многочлена на dx, а за u логарифмічну або аркфункцію.

Приклад 10.Обчислитиarctg xdx

 

Розв'язування. Заuберемоarctgx,заdv - dx.Тоді

 

du =   dx , а v=x, і за формулою інтегрування за частинами  
  + x2  
   

 

 


arctg xdx = xarctgx   x   dx =xarctgx ln   1 + x 2   + C .  
         
  + x    
               
               

в)eαx sin(βx )dx,eαx cos(αx )dx.

В цьому випадку вибір u і v несуттєвий.

Приклад 11.Знайтиe3 x sin xdx.

 

Розв'язування. Виберемо u= e3 x , а dv= sin xdx . Тодіdu = 3e3 xdx , v =− cos x. Отже

e3 x sin xdx =−e3 x cos x + 3e3 x cos xdx ,

 

e3 x cos xdx -інтегруємо за частинами.Знову виберемоu=e3 x .

 

Тоді dv = cos xdx , v = sin x . Одержуємо

e3x sinxdx=−e3xсоsx+ 3e3x sinx 9e3x sinxdx .

 

Шуканий інтеграл є в правій і в лівій частинах рівності. Ви-

значимо його: 10e3 xsin xdx = −e3 xcos x + 3e3 xsin x .

Отже e3 x sin xdx = e3 xcos x + 3e3 xsin x + C .
 

Такі інтеграли інколи називають циклічними або коловими. При їх інтегруванні обов'язково за u двічі вибирати ту ж саму функцію.

Зауваження:В випадку,якщо підінтегральний вираз є добут-ком многочлена на одну з розглянутих функцій, можна інтеграл розкласти на суму декількох інтегралів. Наприклад,

( 2 х2 3 х + 2 )е2 хdx =2 х2е2 хdx3 хе2 хdx +2 хdx .

 


Читайте також:

  1. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
  2. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад
  3. Аналіз структури та динаміки необоротних активів за даними Ф№1 «Баланс» (на прикладі ВАТ «Горизонт»)
  4. Базові та прикладні класифікації
  5. В процесі читання виділіть маркером або підкресліть приклади дії променів на живі організми.
  6. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
  7. Визначення і приклади
  8. ВПРАВА 11. Ознайомтеся з фрагментами наукових текстів, знайдіть приклади для характеристики синтаксичних особливостей викладу інформації українською мовою.
  9. Врахування витраті втрат електроенергії. Приклад складання електробалансу.
  10. Головною метою наукової діяльності в системі вищої освіти повинен стати розвиток фундаментальних та приклад­них досліджень.
  11. Декоративно-прикладне мистецтво та центри народних промислів
  12. Деякі приклади застосування ППП




Переглядів: 494

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Методи обчислення інтегралів | Інтегрування раціональних дробів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.017 сек.