• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклад 4.

Ln 2

При інтегруванні цього виразу враховано те, що сталий множ-ник виноситься за знак інтеграла, а також те, що сума довільних сталих інтегрування є теж стала і її записують як одну.

◙ Метод підстановки ( метод заміни змінної).

Метод полягає в тому, що вводиться нова змінна x = ϕ( t ) , або t = ψ( x ) . Вдалою заміною часто вдається суттєво спростити

інтеграл і навіть звести його до табличного.

Нехай x = ϕ( t ) - диференційована функція від t, похідна ϕ′( t ) якої зберігає знак на проміжку інтегрування.

Формулу заміни змінної _∫ f ( x )dx = _∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt одержу-

ємо на основі властивості інваріантності невизначеного інтеграла (теорема 8) і, врахувавши, що dx = ϕ′( t )dt . Для доведення проди-

ференціюємо праву і ліву частини формули d _∫ f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .

d _∫ f ( x )dx = f ( x )dx = f ( ϕ( t ))ϕ′( t )dt .Формула доведена.

Приклад 5.Знайти_∫tg( x−3 )dx.

Розв’язування.При інтегруванні даного виразу вводимо замі-

ну t=cos(x-3). Тоді dt=dcos(x-3)= -sin(x-3)dx. Одержуємо

Виведемо їх. Якщо _∫ f ( u )du = F ( u ) + C і u = ax + b -

лінійна функція від х, то du = d( ax + b ) = adx . Підставивши в вираз для інтеграла, одержимо _∫ f (ax+ b)d(ax+ b) = a_∫ f (ax+ b)dx=F(ax+ b)+ C .

З останньої рівності випливає, що

_∫ f ( ax + b )dx = ¹ F ( ax + b ) + C .

a

◙ Метод інтегрування частинами

Нехай задано дві неперервно диференційовані функції u(x) i

Застосовуючи цю формулу, підінтегральний вираз f ( x )dx

подають у вигляді добутку множників u і dv . Для даного методу має велике значення правильний вибір функцій u і v. Необхідно, щоб множник dv був виразом, який інтегрується. Є декілька видів інтегралів, для яких правила вибору функцій u і v відомі.

а)_∫P_n ( x )e^αxdx,_∫P_n( x )sin(αx )dx,_∫P_n ( x )cos(αx )dx.

Підінтегральний вираз містить добуток многочлена на триго-нометричну, або многочлена на показникову функції. Вибираємо за u многочлен,а за dv -вираз,що залишився.

Приклад 9.Обчислити_∫x sin 3 xdx.

Розв’язування.Застосовуємо метод інтегрування за частинами

(6.19): _∫ udv= uv− _∫vdu. Вибираємо: u=x, dv=sin3xdx.

Тоді du=dx, v= ∫sin 3 xdx = − ¹ cos3x. Одержуємо

3

∫ x sin3xdx =− ¹ x cos3x + ¹ ∫cos3xdx =− ¹ x cos3x + ¹ sin3x + C .

3339

б) _∫P_n( x )ln xdx , _∫P_n( x )arcsinxdx, _∫P_n( x )arccosxdx ,

_∫P_n( x )arctgxdx,_∫P_n ( x )arcctgxdx .

Підінтегральний вираз - добуток многочлена на логарифмічну або многочлена на аркфункцію. За dv беремо добуток многочлена на dx, а за u логарифмічну або аркфункцію.

Приклад 10.Обчислити_∫arctg xdx

Розв'язування. Заuберемоarctgx,заdv - dx.Тоді

в)_∫e^αx sin(βx )dx,_∫e^αx cos(αx )dx.

В цьому випадку вибір u і v несуттєвий.

Приклад 11.Знайти_∫e^{3 x} sin xdx.

Розв'язування. Виберемо u= e^{3 x} , а dv= sin xdx . Тодіdu = 3e^{3 x}dx , v =− cos x. Отже

_∫e^{3 x} sin xdx =−e^{3 x} cos x + 3_∫e^{3 x} cos xdx ,

_∫e^{3 x} cos xdx -інтегруємо за частинами.Знову виберемоu=e^{3 x} .

Тоді dv = cos xdx , v = sin x . Одержуємо

_∫ e^3x sinxdx=−e^3xсоsx+ 3e^3x sinx − 9_∫e^3x sinxdx .

Шуканий інтеграл є в правій і в лівій частинах рівності. Ви-

значимо його: 10_∫e^{3 x}sin xdx = −e^{3 x}cos x + 3e^{3 x}sin x .

Такі інтеграли інколи називають циклічними або коловими. При їх інтегруванні обов'язково за u двічі вибирати ту ж саму функцію.

Зауваження:В випадку,якщо підінтегральний вираз є добут-ком многочлена на одну з розглянутих функцій, можна інтеграл розкласти на суму декількох інтегралів. Наприклад,

_∫( 2 х² − 3 х + 2 )е^{2 х}dx =_∫2 х²е^{2 х}dx −_∫3 хе^{2 х}dx +_∫2е^{2 х}dx .

Читайте також:

1. Абсолютні синоніми (наприклад, власне мовні й запозичені) в одному тексті ділового стилю вживати не рекомендується.
2. Алгоритм однофакторного дисперсійного аналізу за Фішером. Приклад
3. Аналіз структури та динаміки необоротних активів за даними Ф№1 «Баланс» (на прикладі ВАТ «Горизонт»)
4. Базові та прикладні класифікації
5. В процесі читання виділіть маркером або підкресліть приклади дії променів на живі організми.
6. В чому полягає явище тунелювання через потенціальний бар’єр, наведіть приклади.
7. Визначення і приклади
8. ВПРАВА 11. Ознайомтеся з фрагментами наукових текстів, знайдіть приклади для характеристики синтаксичних особливостей викладу інформації українською мовою.
9. Врахування витраті втрат електроенергії. Приклад складання електробалансу.
10. Головною метою наукової діяльності в системі вищої освіти повинен стати розвиток фундаментальних та приклад­них досліджень.
11. Декоративно-прикладне мистецтво та центри народних промислів
12. Деякі приклади застосування ППП

Переглядів: 490