• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

ПРОПУСКНА СПРОМОЖНІСТЬ ДИСКРЕТНИХ КАНАЛІВ З ПОСТІЙНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Підвищення ефективності використання каналів зв'язку передбачає забезпечення мінімуму помилок і максимуму пропускної спроможності дискретних каналів.

Канал без перешкод. Хай по ідеальному каналу без перешкод передаються сигнали тривалістю Тс з підставою коду т. Пропускна спроможність такого каналу

(5.1)

Оскільки перешкоди відсутні, то ентропія H(Uc/Ur)=Q і

Максимальне значення ентропії відповідає рівномірному закону розподілу вірогідності появи символів. Отже

(5.2)

Очевидно, що для ідеальних двійкових каналів С=В.

Симетричний недвійковий канал. Хай по симетричному каналу передаються m-позиційні символи з вірогідністю помилкового прийому Ра. Оскільки величина Ро не залежить від того, який символ передавався, то вірогідність зареєструвати символ Uci, якщо передавався символ ?/с*, буде

Пропускна спроможність каналу описується формулою (5.1). Умовна ентропія

де P(Uck) — апріорна вірогідність символу UQk. Тоді

(5.3)

Оскільки Я([/р) шах = Iog2/n, то остаточно З = J log2m + (1 - Ро) Iog2(l - Ро) + Ро

Симетричний двійковий канал. Вважаючи в (5.3) т = 2, одержимо

(5.4)

Вираз (5.4) представлений графічно на рис. 5.1 у вигляді функції kv = /(Ро), де до = C/vT. За відсутності перешкод kv = 1, тобто кожен символ переносить в 1 з одну двійкову одиницю інформації. Якщо Ро ?= 0,5, то &v = 0, оскільки прийнятий сигнал на однакову вірогідність може зважати правильним або помилковим. При подальшому збільшенні Ро величина kv зростає і при Ро = 1 знов kv = 1. Це об'яс- А няєтся тим, що формально при Ро > 0,5 інформацію з пріня- 1 тих сигнал можна витягувати, 08_ _ виносячи всякий раз рішення f/ci при прийомі символу С/р2 і рішення ?/с2 у разі символу f/pi.

Рис. 5.1. Пропускна спроможність як функція Ра

Формула (5.4) характеризує 02 максимальну швидкість передачі інформації по симетричному каналу при заданій вірогідності помилок. Для несиметричних каналів вона Справедлива, якщо P(Ua)= P{Ua) І Ро! = Ріг.

Як видно з (5.3), збільшення швидкості передачі інформації в каналах зв'язку може бути досягнуте в результаті застосування способу передачі сигналів за допомогою багатопозиційних методів модуляції, тобто застосування алфавіту сигналів при підставі коду джерела т > 2.

|»-ичные системи передачі інформації, m-ичные сигнали можуть бути сформовані за допомогою багатопозиційної модуляції несучого коливання по амплітуді, частоті або фазі, що є природним узагальненням відповідних видів двійкової модуляції. Крім того", як багатопозиційні сигнали можуть використовуватися багаторівневі відеосигнали. При передачі за допомогою багаторівневих відеосигналів використовується т значень амплітуд постійного струму однакової або різної полярності. Максимально питома швидкість в таких системах складає 2 log2m бит/ (з • Гц).

Хай прийнятий сигнал має вид U(t)= Sr + n(t), Про < t < Тс, де Sr(t) r=l,...,m (m > 2)—возможные корисні сигнали на вході приймача; n(t) — перешкода типу білого гауссовського шуму. Вважатимемо, що вірогідність передачі будь-якого сигналу рівна 1/т. Тоді рішення про те, який з сигналів Sr(i) r=\,...,m був переданий, приймається на основі аналізу /га—1 нерівностей:

(.5.5)

де Er=J SJ(t) dt — енергія сигналу Sr(t).

Помилка при прийомі сигналу виникає тоді, коли нерівність (5.5) не виконується хоч би для одного гт±1.

Хай <7i, <72, -.-, qm — напруги на виходах каналів разлічите-ля, а Wm(q\, qi, ... qm/S\) — m-мірна щільність вірогідності сукупності випадкових величин qi q2, ..., qm за умови, що на вході приймача діє сигнал Si(f). Тоді, з урахуванням алгоритму роботи оптимального разлічителя, вірогідність правильного прийому сигналу

(5.6)

Відповідно при передачі сигналу вірогідність помилки

(5.7)

За інших рівних умов ця вірогідність залежить від ансамблю сигналів Sr(l), г, що приймаються = 1, ..., т. Існує нескінченно велика кількість систем, що відрізняються один від одного індивідуальними і сумісними властивостями сигналів. Представляє інтерес система сигналів, що забезпечує максимальну перешкодостійкість за заданих апріорних умов передачі.

При дії в каналі перешкоди типу білого гауссовського шуму перешкодостійкість системи залежить від відстаней між сигналами

(5.8)

причому чим більше мінімальне з цих відстаней, тим вище перешкодостійкість системи.

Якщо сигнали мають однакову енергію Е, то (5.8) можна спростити:

(5.9)

де Гц = — J Si(t) Sj(t) dt — коефіцієнт взаємної кореляції між сигналами Si(t) і 5(7).

З (5.9) витікає, що для досягнення більшої відстані коефіцієнт взаємної кореляції повинен бути якомога менше. Щоб забезпечити однакову вірогідність правильного прийому будь-якого повідомлення, треба зажадати, щоб всі коефіцієнти гц були однаковими, тобто гц = га для всіх i і / (i*j). Значення г0 задовольняє нерівності г0 > ~\/{ т - Г), яке витікає із співвідношення

(5.10)

Для оптимальної системи сигнали S,(t), г = 1, ..., т., що задовольняють умові

називаються сімплексними, оскільки в (т - 1) -мерном просторі вони утворюють правильний симплекс з кількістю вершин т. Сімплексні сигнали є еквідістантнимі, тобто для всіх пар сигналів St(i) і 5,(7) відстань d(Si,Sj) однакова.

На практиці часто застосовують ортогональні сигнали, для яких

При великих значеннях т ортогональні сигнали по перешкодостійкості близькі до сімплексних. Це витікає з того, що значення го, визначуване формулою (5.10), при великих т прагне до нуля. Ортогональні сигнали з рівною енергією також є еквідістантнимі.

Системою, близькою при т » 1 до сімплексної, є б і про р -тогональная система сигналів Sr(t) r=\,,т (т — парне число), яка характеризується тим, що для кожного сигналу Si(i) існує протилежний сигнал —S,{t), а решта сигналів ортогональна сигналу Si(f). Визначити перешкодостійкість т-ічних систем в загальному випадку важко. Проте для рівноімовірних сімплексних, ортогональних і біортогональних сигналів вираз (5.10) істотний спрощується і зводиться до одноразового інтеграла, який можна оцінити за допомогою чисельних методів.

Системи передачі з ортогональними сигналами. Хай сигнал на вході приймача має вид U(i)= Si(t)+n(i), 0 S t < Tc. Тоді напруга на виході 1-го каналу

буде гауссовськую випадкову величину з математичним очікуванням m{Ui}= Е і дисперсією D9i = EN0/2, а напруги на виході решти каналів представлятимуть гауссовськіє випадкові величини з нульовими математичними очікуваннями і дисперсіями, рівними EN0/2.

Неважко показати, що в даному випадку величини Uи U2, ..., Um є некорельованими:

Отже, з урахуванням розподілу, вони статистично незалежні. При цьому wi-мірна щільність вірогідності

(5.11)

(5.12)

(5.13)

Підставивши вирази (5.11) ...(5.13) в (5.6), після перетворень одержимо

Де я—J -у d? — інтеграл вірогідності.

Неважко бачити, що вірогідність правильного прийому виявляється однаковою для всіх сигналів Sr(i), t = 1, ..., m. Тому повна вірогідність помилки

(5.14)

З рівняння (5.14) виходить, що за інших рівних умов із збільшенням кількості сигналів т вірогідність помилки зростає. Фізично це пояснюється збільшенням вірогідності перевищення шуму (у момент ухвалення рішення) над напругою на виході каналу, що приймає корисний сигнал. Проте це не означає, що потенційна перешкодостійкість m-ичных систем менша, ніж двійкових. При порівнянні систем необхідно мати на увазі, що кожен рівноімовірний m-ичный сигнал несе в Iog2/n раз більша кількість інформації, чим двійковий сигнал або при тій же швидкості передачі інформації має в log2m раз велику тривалість.

На рис. 5.2 представлені залежності вірогідності помилки при когерентному прийомі /и-ичных ортогональних сигналів від відношення h2m = Ев/No, де ?в = Е \og2m — енергія, що витрачається на 1 біт інформації.

Рис. 5.2. Вплив позиційності сигналу на Рош

Системи ортогональних сигналів з т > 2 дозволяють забезпечити при однаковій швидкості передачі інформації істотний виграш в енергетиці в порівнянні з двійковими сигналами. Так, при т = 32 і Л™ = Ю^ він складає майже двічі. Платнею за енергетичний виграш є збільшення ширини смуги частот, займаною системою, і ускладнення приймача, який для сигналів з однаковими енергіями містить т кореляторів (по кількості сигналів) і вирішальне пристрій.

Ансамблі двовимірних сигналів. У загальному випадку перешкодостійкість залежить від виду передаваних сигналів і від способу прийому. При оптимальному прийомі реалізується потенційна перешкодостійкість, тому подальша оптимізація системи передачі повідомлень виробляється шляхом вибору якнайкращого ансамблю сигналів. Для пояснення процедури оптимізації зручно скористатися геометричними уявленнями.

При одному і тому ж методі прийому різні ансамблі забезпечуватимуть різну перешкодостійкість. Це пояснюється особливостями розташування меж областей правильного прийому, що оточують кожен сигнал. Вірогідність правильного відтворення якого-небудь сигналу можна збільшити, якщо розсунути межі його області. При цьому зменшаться об'єми областей сусідніх сигналів, що збільшить вірогідність помилки їх відтворення. Мінімум середньої вірогідності помилки досягається при розміщенні меж на рівних відстанях від сусідніх сигнальних крапок. Крім того, сигнальні крапки повинні бути еквідістантни, тобто знаходитися на однакових відстанях, а області сигналів — мати найбільшу величину (рис. 5.3). Відшукання оптимального ансамблю сигналів зводиться до відомого в багатовимірній геометрії завдання щільного укладання куль в заданому об'ємі. Цим забезпечується мінімум помилки відтворення сигналів і максимальна кількість сигнальних крапок, розміщених в заданому об'ємі сигнального простору.

Найпростіше завдання щільного укладання розв'язується в одновимірному просторі. Максимально щільним є рівномірне розміщення сигнальних крапок на прямій (див. рис. 5.3, би). Якщо кількість сигналів в ансамблі досить велике, то таке розміщення вельми близьке до оптимального.

Рис. 5.3. Рівномірний розподіл сигнальних крапок

У разі двовимірного простору розглядається щільне укладання рівних кіл на площині (рис. 5.4, а). При цьому центри кіл відповідають сигнальним крапкам. Сигнальні крапки розташовані у вершинах трикутників, створюючих трикутну мережу, а області сигналів мають вид правильних шестикутників. Таке розташування при нескінченній кількості сигналів в ансамблі забезпечує однакову вірогідність помилки прийому будь-якого сигналу (області сигналів однакові) і мінімальну середню енергію сигналів (області найщільніше упаковані). Для побудови ансамблів при кінцевій кількості сигналів можна використовувати частину трикутної мережі. Приклади таких сигналів приведені на рис. 5.4, би, в, р. Проте тільки при т = 3 оптимальність розташування сигнальних крапок зберігається. Така система сигналів утворює симплекс двовимірного простору. У решті випадків області периферійних сигналів відрізняються від областей сигналів усередині ансамблю і оптимізація виробляється переміщенням сигнальних крапок, в першу чергу на периферії ансамблю.

Рис. 5.4. Щільна упаковка в двовимірному просторі

На рис. 5.5 зображені основні конфігурації ансамблів двовимірних сигналів. Більшість ансамблів знайдена евристично або чисельною оптимізацією. Кількість сигналів т - 2к (до = 2 7). Лінії, що сполучають сигнальні крапки, дозволяють встановити спосіб побудови ансамблю. Вказано також відстань d, використовувану надалі при розрахунках перешкодостійкості.

Рис. 5.5. Ансамблі біортогональних сигналів

При т = 4 (рис. 5.5, а) ансамбль I є простим, одержаним при розташуванні сигнальних крапок у вузлах квадратної мережі. Сигнали мають однакову енергію і знаходяться на однаковій відстані від початку координат. При виборі як базисні функції коливань

сигнали цього ансамблю

відрізняються тільки початковими фазами. Це широко використовувані в системах передачі дискретних повідомлень сигнали з фазовою модуляцією і кількістю позицій фази т = 4. Вони відносяться до класу біортогональних сигналів, оскільки сигнали Si і S2 ортогональні, а сигнали Si і 5з S2 і S4 — протилежні. Такий ансамбль сигналів позначатимемо ФМ4.

Ансамбль II складається з трьох сигналів, рівномірно розподілених на колі, і четвертого, розташованого на початку координат. У тому ж базисі вони можуть бути представлені так:

Це сигнали з амплитудно-фазовою модуляцією (АФМ). Такий ансамбль позначається як круговий (1, 3) по кількості сигналів, що знаходяться на колах зростаючого радіусу.

При т = 8 (рис. 5.5, а) ансамблі III, IV є прикладами кругових розташувань сигнальних крапок. Очевидно, що ефективність ансамблю III (ФМв) невелика, оскільки простір усередині сигнальної множини не використовується, а мінімальна і максимальна відстані між крапками відрізняються у декілька разів. Ансамбль IV аналогічний ансамблю II і містить одну сигнальну крапку на початку координат.

У ансамблі V сигнальні крапки розташовані на променях, що проходять через початок координат. Поворот внутрішнього підансамблю на кут 45° приводить до конфігурації VI, яка характеризується більш рівномірним заповненням простору сигнальними крапками. Ансамбль VII є прикладом розташування сигналів у вузлах трикутної мережі. При іншому розміщенні сигнальних крапок можна одержати ансамбль, показаний на рис. 5.4, р. Він характеризується щільним і симетричним розташуванням семи сигналів з несиметричним восьмим сигналом. Симетрична конфігурація VIII утворена на основі квадратної мережі.

При т = 16 (рис. 5.5, би) ансамблі IX...XII є різні варіанти кругових розташувань сигнальних крапок з центральним сигналом і без нього. Геометричні розміри конфігурацій задаються радіусами кіл у міру їх зростання. Так, в ансамблі X відношення радіусу зовнішнього кола г2 до радіусу внутрішнього кола rt рівно 2,73. Ансамбль XII характеризується відношенням г2/п = 2.

Симетрична конфігурація ансамблю XIII з регулярним розташуванням сигнальних крапок у вузлах квадратної мережі широко використовується для реалізації. На основі трикутної мережі побудована гексагональна структура XIV (Геке-16). Сигнальні точки цього ансамблю знаходяться у вершинах правильних, щільно упакованих шестикутників.

При т, рівному 32, 64 і 128 (рис. 5.5, би), ансамблі ФМ32, ФМ64 і ФМ128 характеризуються явно нерівномірним розподілом сигнальних крапок і низькою ефективністю (на рис. 5.5 вони не показані). При побудові ансамблів з великою кількістю сигналів використовуються три основні способи розташування сигнальних крапок: на концентричних колах зростаючого радіусу, а також у вузлах квадратної або трикутної мережі.

Параметри кругових розташувань:

ансамбль XV — г = 0,707; г2 = 1,72; г3 = 2,68;

ансамбль XVIII — г = 1; г2 = 2,08; п = 3,04; п = 4,15;

ансамбль XXI — г = 1; г2 = 1,93; г3 = 2,88; г4 = 3,83; rs = 4,78; г6 = 6,05.

Значення радіусів нормовані так, що відстані між найближчими сигнальними крапками рівні одиниці.

Оптимальним вибором розташування сигнальних крапок в просторі сигналів досягається мінімум середньої вірогідності помилки у відтворенні сигналів Ріс. У ряді випадків необхідно забезпечити мінімум вірогідність помилки на двійковий символ Роб. При цьому необхідно оптимізувати маніпуляційний код.

У двійковому ансамблі можливі два рівноправних правила ма-ніпуляционного кодування. Сигналу 5i може бути приписаний символ 0, а сигналу S2—_символ 1 (див. рис. 5.3, а, би). Можливо і зворотна відповідність: Si - 1 S2 - 0. При т > 2 кількість можливих варіантів коду зростає, і лише деякі з них забезпечують мінімум вірогідність Роб. Оскільки помилки часто виникають із-за переходів у області сусідніх сигналів, доцільним буде наступне правило маніпуляційного кодування: двійкові послідовності повідомлення, що приписуються сусіднім сигналам, повинні відрізнятися найменшим числом двійкових символів. Цій умові задовольняє код Гріючи, приклад якого для чотирьохпозиційного ансамблю одновимірних сигналів показаний на рис. 5.3, в. Тут перехід з будь-якої сигнальної крапки в сусідню область приводить до помилки в одному двійковому символі.

Маніпуляційні коди легко можна знайти для сигналів з ФМ, коли сигнальні крапки розташовані на колі. Приклади таких кодів для т = 8ига = 16 показані на рис. 5.6. Такі ансамблі характеризуються круговою симетрією, коли відстані при послідовному переході від однієї сигнальної крапки до іншої зростають. Для ФМ4 також існує оптимальний маніпуляційний код (рис. 5.7, а).

Рис. 5.6. Маніпуляційні коди при m = 8 і т - 16

Рис. 5.7. Маніпуляційні оптимальні коди

Використовуючи просте правило маніпуляційного кодування одновимірних ансамблів, неважко одержати маніпуляційний код для двовимірного ансамблю сигналів, побудований на основі квадратної мережі (рис. 5.7, в). Оптимальний маніпуляційний код виходить, якщо координати сигнальних точок по горизонталі і вертикалі кодувати одновимірним кодом Гріючи, а потім об'єднати двійкові символи в чотиризначні кодові комбінації. З рис. 5.7 витікає, що відстань Хеммінга від будь-якої сигнальної крапки до сусідніх завжди мінімально і рівно 1.

Дещо гірші результати виходять, якщо для формування ансамблю з т = 16 використовувати метод складання двох ансамблів ФМ4 з різними довжинами векторів. На рис. 5.7, би цей спосіб ілюструється геометрично. Не дивлячись на те, що маніпуляційний код в кожному з ансамблів ФМ4 вибраний оптимальним, результуючий код багатопозиційного ансамблю є неоптимальним (рис. 5.7, г). Деякі з поряд розташованих сигнальних крапок відрізняються двома символами. Проте такий код широко використовується, оскільки метод формування багатопозиційного ансамблю шляхом вагового складання двох ансамблів ФМ» легко реалізується на практиці.

Як випливає з викладеного, застосування багатопозиційних сигналів дозволяє збільшити швидкість передачі інформації в каналі. Проте на шляху реалізації багатопозиційних систем виникають серйозні труднощі, пов'язані з технічною реалізацією і забезпеченням високих економічних показників приймальних пристроїв. Техніко-економічні показники багатопозиційних приймачів визначаються методами прийому і аналізу сигналів. У приймачах з аналоговою обробкою сигналів із зростанням m збільшується вартість, маса і габарити при одночасному погіршенні надійності системи. Це пояснюється тим, що із збільшенням m лінійно збільшується кількість гілок аналізу /n-ичного сигналу.

Цифрові приймачі позбавлені вказаних недоліків, проте для аналізу багатопозиційних сигналів в реальному масштабі часу необхідно розпаралелювати процедуру обробки сигналу, що вимагає створення спеціальних мікропроцесорів і значного об'єму оперативних пристроїв, що запам'ятовують. Практично, із-за складності реалізації при m > 16, вартість апаратури стає сумірного з вартістю каналу зв'язку.

Одним із способів підвищення швидкості передачі є передача дискретних сигналів, в яких кількість одиничних елементів, передаваних в одиницю часу, перевищує межу Найквіста, визначувану смугою каналу зв'язку.

Читайте також:

1. Аналіз ефективності використання каналів розподілу
2. Без урахування вагомості факторів конкурентоспроможність продукції визначається як сума балів за кожним фактором.
3. Варіанти і способи вимірювань характеристик телефонних каналів
4. Вибір каналів розповсюдження реклами
5. Відповідно до каналів передачі технологій
6. Всі іпотечні кредити діляться на кредити з постійними і змінними платежами.
7. Демодуляція дискретних сигналів.
8. Джерела виникнення каналів витоку
9. Джерело дискретних повідомлень і його ентропія
10. За якими параметрами комплектують поршні при ремонті циліндро-поршневої групи?
11. Загальні вимоги до аналогових телефонних каналів
12. Закони розподілу дискретних випадкових величин

Переглядів: 883