Недоліки кінцево-різницевих формул Ейлера та можливі шляхи вирішення.

Метод Ейлера є асиметричним, оскільки він просуває розв’язок на один крок по часу , а використовує при цьому інформацію про похідну тільки в початковій точці інтервалу.

Метод Ейлера дає найпростіші і досить грубі формули розв’язку диференціального рівняння. Існують більш точні методи, для яких ми наведемо лише формули, а геометричну інтерпретацію пропонуємо розглянути самостійно.

Метод Ейлера-Кромера, або метод наближення по останній точці:

Метод середньої точки використовує для нового значення координати середню на відрізку швидкість:

Метод напівкроку використовує припущення, що швидкість на відрізку дорівнює значенню швидкості в середині відрізка:

Метод не є самостартуючим, оскільки дані формули не дозволяють обчислити . Можна покласти

Метод Верле більш точний:

Недоліком цього методу є необхідність використання іншого методу для отримання декількох перших точок фазового простору і обчислення швидкості через віднімання близьких по величині значень, що може призвести до втрати значущих цифр і значного росту похибки.

Ці недоліки усуваються в швидкісній формі алгоритму Верле:

,

.

Метод Бімана і Шофілда:

,

не є самостартуючим, але краще, ніж алгоритм Верле, оскільки краще зберігає енергію.

Метод предиктор-коректора полягає в передбаченні нового значення координати

предиктор ,

що дозволяє визначити прискорення , використовуючи яке знаходимо скореговані значення

коректор ,

Скореговане значення використовується для обчислення передбачуваного значення , а отже, нових передбачень значень і . Ця процедура повторюється до тих пір, поки передбачуване і скореговане значення не будуть відрізнятися на величину менше заданої.

Метод Рунге-Кутта дає можливість підвищити точність методу Ейлера внаслідок екстраполяції в серединній точці відрізка, а потім використовувати центральну похідну на всьому відрізку (див. курс чисельних методів).

Не слід віддавати перевагу якомусь одному методу. Бажано експериментувати з різними алгоритмами для різних динамічних систем.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теоретичні відомості	\|	Визначення градієнту зміни швидкості.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.006 сек.