Недоліки кінцево-різницевих формул Ейлера та можливі шляхи вирішення.
Метод Ейлера є асиметричним, оскільки він просуває розв’язок на один крок по часу , а використовує при цьому інформацію про похідну тільки в початковій точці інтервалу.
Метод Ейлера дає найпростіші і досить грубі формули розв’язку диференціального рівняння. Існують більш точні методи, для яких ми наведемо лише формули, а геометричну інтерпретацію пропонуємо розглянути самостійно.
Метод Ейлера-Кромера, або метод наближення по останній точці:
,
.
Метод середньої точки використовує для нового значення координати середню на відрізку швидкість:
,
.
Метод напівкроку використовує припущення, що швидкість на відрізку дорівнює значенню швидкості в середині відрізка:
,
.
Метод не є самостартуючим, оскільки дані формули не дозволяють обчислити . Можна покласти
.
Метод Верле більш точний:
.
Недоліком цього методу є необхідність використання іншого методу для отримання декількох перших точок фазового простору і обчислення швидкості через віднімання близьких по величині значень, що може призвести до втрати значущих цифр і значного росту похибки.
Ці недоліки усуваються в швидкісній формі алгоритму Верле:
,
.
Метод Бімана і Шофілда:
,
не є самостартуючим, але краще, ніж алгоритм Верле, оскільки краще зберігає енергію.
Метод предиктор-коректора полягає в передбаченні нового значення координати
предиктор ,
що дозволяє визначити прискорення , використовуючи яке знаходимо скореговані значення
коректор ,
.
Скореговане значення використовується для обчислення передбачуваного значення , а отже, нових передбачень значень і . Ця процедура повторюється до тих пір, поки передбачуване і скореговане значення не будуть відрізнятися на величину менше заданої.
Метод Рунге-Кутта дає можливість підвищити точність методу Ейлера внаслідок екстраполяції в серединній точці відрізка, а потім використовувати центральну похідну на всьому відрізку (див. курс чисельних методів).
Не слід віддавати перевагу якомусь одному методу. Бажано експериментувати з різними алгоритмами для різних динамічних систем.