Співвідношення Коші (1.36) зв'язують між собою шість складової деформації й три складові переміщення, але цей зв'язок не є взаємно однозначним. Якщо задані три складові переміщення, то шість складових деформації визначаються однозначно. Якщо ж задані шість складової деформації, то для визначення трьох складові переміщення потрібно проінтегрувати шість диференціальних рівнянь у частинних похідних. При довільному виборі складових деформації шість рівнянь із трьома невідомими не завжди можуть бути розв’язані однозначно, тому між шістьма складовими деформації повинні існувати певні залежності.
Виключимо складові переміщення з рівнянь (1.36).
Двічі продиференціюємо перше рівняння по а друге — по
Складемо два останніх вирази:
(1.41)
В дужках (1.41) записані кутова деформація й тоді
(1.42)
Аналогічно для двох інших координатних площин
(1.43)
Рівняння (1.42), (1.43) означають, що якщо задані дві лінійні деформації у взаємно перпендикулярних напрямках, то кутову деформацію в площині цих лінійних деформацій не можна задати довільно. Для забезпечення однозначності розв’язку цих рівнянь недостатньо, тому що вони отримані диференціюванням, а при цьому порядок диференціального рівняння підвищується й можлива поява нових розв’язків, які не задовольняють вихідному рівнянню.
Продиференціюємо три останніх рівняння (1.36):
(1.44)
Складемо перші два рівняння й віднімемо третє:
Продиференціюємо цей вираз по і, враховуючи, що
одержимо
(1.45)
Ще два рівняння записуються аналогічно:
(1.46)
Таким чином, отримана система шести диференціальних рівнянь у частинних похідних:
(1.47)
Рівняння (1.47) називаються рівняннями нерозривності деформацій Сен-Венана.