Рішення осесимметричної задачі за допомогою функції напружень
Знайдемо функцію напружень осесимметричної задачі. Бігармонічне рівняння осесимметричної задачі (4.27) являє собою диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами. Щоб одержати рівняння з постійними коефіцієнтами, переходимо до нової змінної за допомогою підстановки (4.32). Зв'язок між похідними функції по старій і новій змінним установлюємо аналогічно тому, як це зроблено в 4.8.
Підставляючи вирази похідних у рівняння (4.27), одержимо лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами
Його рішення має вигляд
.
Переходячи до старої змінної , одержуємо загальне рішення рівняння (4.27):
.
(4.39)
По формулах (4.28) знаходимо напруження:
(4.40)
Отримані рівняння являють собою загальне рішення осесимметричної задачі. Залишається лише визначити із граничних умов значення постійних і .