• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Основні відомості про комплексні числа

Комплексне число – це число виду А=а+jв, де а та в – дійсні числа, а j=Ö-1 – так звана уявна одиниця. Величину а називають дійсною частиною комплексного числа (умовне позначення а =Re{A}), величину в називають уявною частиною комплексного числа (умовне позначення в= Im{A}). В радіоелектроніці комплексне число позначають літерою з підкреслюванням.

Вираз А являє собою алгебраїчну форму записукомплексного числа. Розглянемо площину з декартовими прямокутними координатами, в яких вісь абсцис є віссю дійсних чисел, а вісь ординат – віссю уявних чисел. З алгебраїчної форми запису випливає графічне зображення комплексного числа А у вигляді точки з координатами (а, в) (рис.4.2).

Рис. 4.2

Розглянемо нижній з двох прямокутних трикутників, наявних на рис.4.2. Довжина катета, який розташовано на осі дійсних чисел, дорівнює а, а довжина катета, який розташовано на осі уявних чисел, дорівнює в, тому гіпотенуза ОА дорівнює . Позначимо її як . Ця гіпотенуза утворює кут a з віссю дійсних чисел, тому з того ж прямокутного трикутника випливає, що a= cosa , в= sina, а отже

.

Останній вираз називають тригонометричною формою записукомплексного числа, величину називають модулемабо абсолютною величиноюкомплексного числа , а величину a – аргументом комплексного числа А.

Використання формули Ейлера

дозволяє перейти від тригонометричної форми запису комплексного числа до його показникової (експоненціальної) формизапису

.

Звідси випливає ще один спосіб графічного зображення комплексного числа – його зображення у вигляді вектора довжиною , спрямованого під кутом a до позитивного напрямку осі дійсних чисел.

Для переходу від алгебраїчної форми запису до показникової форми запису використовують такі співвідношення:

;

Отже, Число називають комплексно-спряженимчислу А, якщо .

Додавання та віднімання комплексних чисел виконують, попередньо привівши їх до алгебраїчної форми запису:

;

;

.

Ці операції можна також виконати графічно (з точністю, обмеженою точністю графічних побудувань), користуючись правилами додавання та віднімання векторів (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Множення комплексних чисел виконують як в алгебраїчній, так і в показниковій формі запису:

де j×j= - 1;

.

Ділення комплексних чисел теж можна виконувати як в алгебраїчній, так і в показниковій формі запису.

.

Звичайно множення та ділення зручніше виконувати в показниковій формі запису.

Зауважимо, що згідно з формулами Ейлера, маємо:

Тоді

.

Звідси випливає, що множення числа А на j (або, що те ж саме, на ) призводить до того, що вектор добутку утворюється з вектора А шляхом повороту останнього на проти годинникової стрілки без зміни довжини вектора. Множення ж на (-j) числа А (або, що те ж саме, його множення на ) утворює вектор добутку шляхом повороту вектора А на за годинниковою стрілкою. Ці результати ілюстровані рис. 4.4.

Рис. 4.4

Взагалі, множення комплексного числа на призводить до повороту вектора, який зображує це число, на кут b проти годинникової стрілки, якщо b>0, або за годинниковою стрілкою, якщо, b<0.

Отже, якщо кут повороту b є пропорційним часу, тобто b = wt, то множення комплексного числа А на призведе до утворення нового вектора , який являє собою той же вектор А, який безупинно обертається проти годинникової стрілки з кутовою частотою w, – так званий обертовий вектор.

Читайте також:

1. II. Множення круглих багатоцифрових чисел на розрядні числа.
2. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
3. II. Основні засоби
4. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
5. IX. Відомості про військовий облік
6. IX. Відомості про військовий облік
7. Q Конституція України від 28 червня 1996 р. // Відомості Верховної Ради України – 1996 - № 30 – Ст. 141
8. V Практично всі психічні процеси роблять свій внесок в специфіку організації свідомості та самосвідомості.
9. VII. ОСНОВНІ ЕТАПИ РОЗВИТКУ УКРАЇНСЬКОЇ КУЛЬТУРИ У ХХ ст.
10. Абсолютна величина дійсного числа
11. Абсолютна величина числа позначається символом .
12. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції

Переглядів: 886