Частина 1. Взаємне розміщення прямих і площин у просторі.
1. а) Дано дві різні прямі, що перетинаються в точці . Доведіть, що всі прямі, які перетинають обидві дані прямі і не проходять через точку , лежать в одній площині.
б) Дано дві прямі і , які перетинаються. Точки і лежать на прямій , а точки і належать прямій . Доведіть, що прямі і лежать в одній площині.
2. а) Площина перетинає сторони і квадрата в їхніх серединах. Довести, що площина паралельна одній з діагоналей квадрата.
б) Яким може бути взаємне розміщення двох прямих, якщо обидві вони паралельні одній площині?
в) Дано трикутник . Площина, паралельна прямій , перетинає сторону у точці , а сторону - у точці . Визначте , якщо , , .
3.Доведіть, що через дві мимобіжні прямі можна провести паралельні площини.
4. -куб.Знайдіть кут між прямими і .
5.а) Основою паралелепіпеда є ромб. Бічне ребро перпендикулярне до основи. Довести, що діагональ паралелепіпеда перпендикулярна до діагоналі основи .
б) Відрізок перпендикулярний до площини рівностороннього трикутника . Визначити відстань від точки до сторони , якщо , .
6.а) Відстані від точки до всіх вершин правильного трикутника дорівнюють по , а відстань до площини трикутника - . Визначити висоту трикутника.
б) З деякої точки до площини проведено дві похилі. Визначити довжину похилих, якщо вони відносяться, як 1:2, а проекції похилих на площину дорівнюють і .
7.Пряма перпендикулярна до площини ромба, діагоналі якого перетинаються в точці . Доведіть, що відстані від точки до всіх прямих, які містять сторони ромба, рівні між собою.
8.а) Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює . Поза площиною трикутника дано точку, яка перебуває на відстані від кожної з його вершин. Визначте відстань від цієї точки до площини трикутника.
б) Периметр правильного трикутника дорівнює , а відстань від деякої точки до кожної зі сторін трикутника – по . Визначте відстань від цієї точки до площини трикутника.