МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Гармонічні коливання та їх основні параметриРозглянемо пружинний маятник (мал. 1.21). При зміщенні матеріальної точки масою т на відстань х відносно положення рівноваги на неї починає діяти сила пружності, яка викликана деформацією пружини Fnp = -kx. (1.35) Мал. 1.21. Пружинний маятник. Згідно з II законом Ньютона ця сила надаватиме матеріальній точці прискорення : Fnp = ma. (1.36) Прирівнюючи праві частини рівностей (1.35) і (1.36), одержимо: ma = -kx. (1.37) Враховуючи, що прискорення є другою похідною від координати за часом a = х, останнє рівняння набуває вигляду лінійного диференційного рівняння m +kx=0. (1.38) Оскільки коефіцієнт жорсткості пружини k > 0 і т > 0, відношення k/m можна позначити через квадрат деякої величини ω0: ω02=k/m. Тоді рівняння (1.38) матиме вигляд: . (1.39) Таким чином, функція х =f(t) задовольняє диференційному рівнянню ІІ-го порядку, яке є лінійним, однорідним і зі сталими коефіцієнтами. Розв'язок таких рівнянь, як відомо, зводиться до розв'язування відповідних характеристичних алгебраїчних рівнянь. Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.39): λ2+ω02=0. (1.40) Корені цього квадратного рівняння дорівнюють λ1,2 = ±ω0 , тобто вони є різними й уявними. Загальний розв'язок диференційного рівняння (1.39) на випадок таких коренів відповідного характеристичного рівняння має вигляд: x(t) = с1 sinω0t + с2 cosω0t. Нехай с1 = Acosφ0, а с2 = - А sinφ0, де А та φ0 - довільні сталі, тоді x(t) = Acosφ() cosω0t- Asinφ sinωt= Acos(ω0t + φ0). (1.41) Якщо покласти с1 = A sinφ0, а с2 = А cosφ0, то прийдемо до результату: x(t) = Asin(ω0t + φ0). (1.42) Значення сталих А та φ0 визначаються початковими умовами, тобто положенням та швидкістю матеріальної точки в момент часу t = 0. Отже, ми дійшли до висновку: матеріальна точка, що знаходиться під дією пружної сили, здійснює коливальний рух, при якому її зміщення від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Такі коливання називають гармонічними. Стала А в рівняннях (1.42) є амплітуда гармонічного коливання, вона дорівнює максимальному зміщенню маятника від положення рівноваги. Аргумент синуса (або косинуса): φ(t) = ω0t + φ0 - фаза коливань. Фаза визначає зміщення маятника в будь-який момент часу, φ0- початкова фаза, яка визначає зміщення маятника в момент часу t = 0. Величина ω0= - циклічна частота коливань. Тій же самій закономірності підпорядковується зміщення від положення рівноваги математичного маятника, що коливається, при невеликих кутах відхилення а (мал. 1.22). Мал. 1.22. Математичний маятник. Сила, яка спричиняє коливання математичного маятника, не є пружна за своєю природою. Дійсно, повертаюча сила F спрямована по дотичній до дуги кола радіуса l, напрямлена до положення рівноваги і пропорційна зміщенню х:
(оскільки для малих кутів α маємо ). Сила, що не є пружною за своєю природою, але аналогічна їй по залежності від зміщення, називається квазіпружною. Таким чином, F є квазіпружною силою. Рівняння динаміки для математичного маятника матиме вигляд: , або (1.43) Отримане рівняння повністю збігається з рівнянням (1.41), що описує рух пружного маятника, а отже має той самий розв'язок. Таким чином, гармонічні коливання - це коливання, що відбуваються під дією пружних або квазіпружних сил. Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях Нехай відлік часу обрано таким чином, щоб початкова фаза φ0= 0. Тоді розв'язок рівняння (1.41) матиме вигляд: x(t) = Asinω0 t. (1.44) Швидкість тіла, що коливається, знайдемо як похідну від координати х за часом t , (1.45) де υm = aω0 - амплітуда швидкості. З рівнянь (1.43) та (1.44) випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, а фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на π/2, тобто в момент часу, коли х = 0, швидкість максимальна. Оскільки швидкість при гармонічних коливаннях змінюється з часом, то цей рух характеризується прискоренням, яке знайдемо як другу похідну від зміщення х за часом (1.46) де ат = Аω02 - амплітуда прискорення. Видно, що і прискорення змінюється за гармонічним законом, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на π, а від фази швидкості на π/2. Замінивши в (1.46) Asinω0t через х, отримаємо: a=-ω02x. З цієї рівності виходить, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла прямо пропорційне до зміщення від положення рівноваги і має протилежний зміщенню напрямок. Період і частота гармонічних коливань Періодом гармонічного коливального руху називають найменший проміжок часу Т, по закінченні якого всі величини, що характеризують цей рух (х, υ, а), набувають первісні значення. З рівностей (1.44) - (1.46) випливає, що періоду коливань відповідає зміна фази на величину 2π. У момент часу t фаза дорівнює ω0t+φ0, а в момент часу t + Т: (ω0 (t + T) +φ0 ). Тоді з умови періодичності (ω0 (t + T) +φ0)- -( ω0t+φ0 )= 2π маємо: . (1.47) Підставляючи в (1.47) вирази для ω0, що відповідають пружинному та математичному маятникам, отримаємо відповідні вирази для періодів коливань цих маятників: (1.48) Величину v=1/Т = ω0/2π називають частотою коливань. Частота вказує, скільки разів за 1 сек повторюється один і той же стан тіла, що коливається. Частота вимірюється в Герцах (Гц), [v] = 1/с = с-1 = Гц. Розглянуті коливання відбуваються при відсутності сил тертя і зовнішніх сил. Такі коливання називають власними. Частота (період) власних коливань, як випливає з (1.48), залежить лише від властивостей самої системи.
1.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух
Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: Fm=-rυ, де r - коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (II закон Ньютона). ma = -kx-rυ або . Позначивши ,отримаємо диференційне рівняння другого порядку, що описує рух пружинного маятника у присутності сил тертя . (1.49) Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.49): . Знайдемо корені характеристичного рівняння . (1.50) Загальний розв'язок рівняння (1.49) залежить від знака різниці β2-ω02. Розглянемо всі можливі випадки: 1. β2<ω02, коли корені характеристичного рівняння є комплексними числами (затухаючі коливання) , де - циклічна частота. У випадку комплексних коренів характеристичного рівняння загальний розв'язок (1.49) має вигляд , або , (1.51) де A(t) = A0e -βt- амплітуда коливань, яка зменшується за експоненціальним законом, (β - коефіцієнт затухання, визначає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 1.23. Мал. 1.23. Затухаючі коливання. Ступінь затухання часто характеризують декрементом затухання S і логарифмічним декрементом затухання λ*: ,
де період затухаючих коливань дорівнює
2. β2>ω02 , коли корені характеристичного рівняння є дійсними числами (аперіодичні коливання) <0 У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (1.49) матиме вигляд (1.52) що відповідає аперіодичному рухові (мал. 1.24). 3. β2>ω02 , коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним. Коливання, що виникають у системі при відсутності зовнішніх сил, називають вільними. Частота вільних коливань залежить як від пружних властивостей системи (ω0), так і від інтенсивності втрат (β). Якщо β2<<ω02, то ω ω0 i період вільних коливань стає близьким до періоду власних коливань (мал. 1.23).
Мал. 1.24. Аперіодичний рух.
Читайте також:
|
||||||||
|