Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Гармонічні коливання та їх основні параметри

Розглянемо пружинний маятник (мал. 1.21). При змі­щенні матеріальної точки масою т на відстань х відносно положення рівноваги на неї починає діяти сила пружності, яка викликана деформацією пружини

Fnp = -kx. (1.35)

Мал. 1.21. Пружинний маятник.

Згідно з II законом Ньютона ця сила надаватиме мате­ріальній точці прискорення :

Fnp = ma. (1.36)

Прирівнюючи праві частини рівностей (1.35) і (1.36), одер­жимо:

ma = -kx. (1.37)

Враховуючи, що прискорення є другою похідною від координати за часом a = х, останнє рівняння набуває вигля­ду лінійного диференційного рівняння

m +kx=0. (1.38)

Оскільки коефіцієнт жорсткості пружини k > 0 і т > 0, відношення k/m можна позначити через квадрат деякої ве­личини ω0: ω02=k/m. Тоді рівняння (1.38) матиме вигляд:

. (1.39)

Таким чином, функція х =f(t) задовольняє диференційному рівнянню ІІ-го порядку, яке є лінійним, однорідним і зі сталими коефіцієнтами. Розв'язок таких рівнянь, як відомо, зводиться до розв'язування відповідних характеристичних алгебраїчних рівнянь.

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.39):

λ202=0. (1.40)

Корені цього квадратного рівняння дорівнюють λ1,2 = ±ω0 , тобто вони є різними й уявними.

Загальний розв'язок диференційного рівняння (1.39) на випадок таких коренів відповідного характеристичного рів­няння має вигляд:

x(t) = с1 sinω0t + с2 cosω0t.

Нехай с1 = Acosφ0, а с2 = - А sinφ0, де А та φ0 - довільні сталі, тоді

x(t) = Acosφ() cosω0t- Asinφ sinωt= Acos(ω0t + φ0). (1.41)

Якщо покласти с1 = A sinφ0, а с2 = А cosφ0, то прийдемо до результату:

x(t) = Asin(ω0t + φ0). (1.42)

Значення сталих А та φ0 визначаються початковими умовами, тобто положенням та швидкістю матеріальної точки в момент часу t = 0.

Отже, ми дійшли до висновку: матеріальна точка, що знаходиться під дією пружної сили, здійснює коливаль­ний рух, при якому її зміщення від положення рівноваги змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Такі коливання називають гармонічними.

Стала А в рівняннях (1.42) є амплітуда гармонічного коливання, вона дорівнює максимальному зміщенню маят­ника від положення рівноваги. Аргумент синуса (або коси­нуса): φ(t) = ω0t + φ0 - фаза коливань. Фаза визначає змі­щення маятника в будь-який момент часу, φ0- початкова фаза, яка визначає зміщення маятника в момент часу t = 0.

Величина ω0= - циклічна частота коливань.

Тій же самій закономірності підпорядковується зміщен­ня від положення рівноваги математичного маятника, що коливається, при невеликих кутах відхилення а (мал. 1.22).

Мал. 1.22. Математичний маятник.

Сила, яка спричиняє коливання математичного маятни­ка, не є пружна за своєю природою. Дійсно, повертаюча сила F спрямована по дотичній до дуги кола радіуса l, напрямлена до положення рівноваги і пропорційна зміщен­ню х:

(оскільки для малих кутів α маємо ).

Сила, що не є пружною за своєю природою, але анало­гічна їй по залежності від зміщення, називається квазіпружною. Таким чином, F є квазіпружною силою. Рівняння динаміки для математичного маятника матиме вигляд:

, або (1.43)

Отримане рівняння повністю збігається з рівнянням (1.41), що описує рух пружного маятника, а отже має той самий розв'язок. Таким чином, гармонічні коливання - це коливання, що відбуваються під дією пружних або квазіпружних сил.

Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях

Нехай відлік часу обрано таким чином, щоб початкова фаза φ0= 0. Тоді розв'язок рівняння (1.41) матиме вигляд:

x(t) = Asinω0 t. (1.44)

Швидкість тіла, що коливається, знайдемо як похідну від координати х за часом t

, (1.45)

де υm = aω0 - амплітуда швидкості.

З рівнянь (1.43) та (1.44) випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, а фаза швидкості від­різняється від фази зміщення на π/2, тобто в момент часу, коли х = 0, швидкість максимальна.

Оскільки швидкість при гармонічних коливаннях змі­нюється з часом, то цей рух характеризується прискорен­ням, яке знайдемо як другу похідну від зміщення х за часом

(1.46)

де ат = Аω02 - амплітуда прискорення.

Видно, що і прискорення змінюється за гармонічним законом, а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на π, а від фази швидкості на π/2. Замінивши в (1.46) Asinω0t через х, отримаємо:

a=-ω02x.

З цієї рівності виходить, що при гармонічних коливаннях прискорення тіла прямо пропорційне до зміщення від поло­ження рівноваги і має протилежний зміщенню напрямок.

Період і частота гармонічних коливань

Періодом гармонічного коливального руху називають найменший проміжок часу Т, по закінченні якого всі вели­чини, що характеризують цей рух (х, υ, а), набувають пер­вісні значення. З рівностей (1.44) - (1.46) випливає, що періоду коливань відповідає зміна фази на величину 2π.

У момент часу t фаза дорівнює ω0t+φ0, а в момент часу t + Т: (ω0 (t + T) +φ0 ). Тоді з умови періодичності (ω0 (t + T) +φ0)- -( ω0t+φ0 )= 2π маємо:

. (1.47)

Підставляючи в (1.47) вирази для ω0, що відповідають пружинному та математичному маятникам, отримаємо від­повідні вирази для періодів коливань цих маятників:

(1.48)

Величину v=1/Т = ω0/2π називають частотою коливань. Частота вказує, скільки разів за 1 сек повторюється один і той же стан тіла, що коливається. Частота вимірюється в Герцах (Гц), [v] = 1/с = с-1 = Гц.

Розглянуті коливання відбуваються при відсутності сил тертя і зовнішніх сил. Такі коливання називають власними. Частота (період) власних коливань, як випливає з (1.48), залежить лише від властивостей самої системи.

 

1.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух

 

Припустимо, що в розглянутих системах існує тертя чи опір, причому сила тертя (опору) пропорційна швидкості: Fm=-rυ, де r - коефіцієнт тертя (опору). Запишемо в цьому випадку рівняння руху (II закон Ньютона).

ma = -kx-rυ або .

Позначивши ,отримаємо диференційне рівняння другого порядку, що описує рух пружинного маят­ника у присутності сил тертя

. (1.49)

Складемо характеристичне рівняння, що відповідає ди-ференційному рівнянню (1.49):

.

Знайдемо корені характеристичного рівняння

. (1.50)

Загальний розв'язок рівняння (1.49) залежить від знака різниці β202. Розглянемо всі можливі випадки:

1. β202, коли корені характеристичного рівняння є комплексними числами (затухаючі коливання)

,

де - циклічна частота. У випадку комплекс­них коренів характеристичного рівняння загальний розв'я­зок (1.49) має вигляд

, або

, (1.51)

де A(t) = A0e t- амплітуда коливань, яка зменшується за експоненціальним законом, (β - коефіцієнт затухання, визначає швидкість затухання амплітуди. Залежність х = f (t) для затухаючих коливань подано на мал. 1.23.

Мал. 1.23. Затухаючі коливання.

Ступінь затухання часто характеризують декрементом затухання S і логарифмічним декрементом затухання λ*:

,

де період затухаючих коливань дорівнює

2. β202 , коли корені характеристичного рівняння є дійсними числами (аперіодичні коливання)

<0

У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (1.49) ма­тиме вигляд

(1.52)

що відповідає аперіодичному рухові (мал. 1.24).

3. β202 , коли корені є кратними. Легко побачити, що і в цьому випадку рух тіла буде аперіодичним.

Коливання, що виника­ють у системі при відсут­ності зовнішніх сил, нази­вають вільними. Частота вільних коливань залежить як від пружних власти­востей системи (ω0), так і від інтенсивності втрат (β). Якщо β2<<ω02, то ω ω0 i період вільних коливань

стає близьким до періоду власних коливань (мал. 1.23).

Мал. 1.24. Аперіодичний рух.

 


Читайте також:

  1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
  2. II. Основні засоби
  3. II.3. Основні способи і прийоми досягнення адекватності
  4. V.Коливання та хвилі
  5. VII. ОСНОВНІ ЕТАПИ РОЗВИТКУ УКРАЇНСЬКОЇ КУЛЬТУРИ У ХХ ст.
  6. АВТОКОЛИВАННЯ
  7. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
  8. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
  9. Аналітичні параметри
  10. Аналітичні параметри
  11. Антропометричні параметри людини, які використовуються в ергономіці (см)
  12. Артеріальний пульс, основні параметри




Переглядів: 2046

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ | Вимушені коливання

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.007 сек.