• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Розв’язання.

Перестановки з повтореннями та без повторення.

Розв’язання.

У задачі йдеться про п’ятиелементну множину {2, 4, 5, 6, 7}, із якої слід вибирати кортежі довжини два так, щоб елементи, тобто цифри, не повторювалися. Отже, необхідно обчислити число розміщень без повторень із п’яти елементів по два елемента. Використаємо формулу А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1), в якій n=5, k=2. Обчислюємо А₅²;=5•(5-1)=5•4=20. Таким чином, за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 можна записати 20 двозначних чисел так, щоб вони не повторювалися.

3.Розглянемо множину M={a₁,a₂,a₃,...,a_n}. Розглянемо над цією множиною кортеж довжини k, де k=k₁+k₂+k₃+...+k_n, причому елемент a₁ - повторюється k₁ раз; елемент a₂ повторюється k₂ раз; елемент a₃ - k₃ раз; нарешті, елемент a_n - k_n разів. У комбінаториці такі кортежі називають перестановками з повтореннями, а їх число позначають символом Pk₁,k_2,k_3,…k_n i читають: число перестановок з повтореннями, в якій перший елемент повторюється k₁ раз, другий - k₂, третій - k₃, n-ий - k_n раз.

Означення: будь-який кортеж довжини k, де k=k₁+k₂+k₃+...+k_n над даною n елементною множиною М, в якому елемент a₁ - повторюється k₁ раз, елемент a₂ повторюється k₂ раз, елемент a₃ - k₃ раз, … елемент a_n - k_n разів називається перестановкою довжини k (k=k₁+k₂+k₃+...+k_n) з повтореннями.

Числом перестановок з перетвореннями обчислюють за формулою: Pk₁,k_2,k_3,…k_n =( k₁+k₂+k₃+...+k_n)!/(k₁!k₂!k₃!...k_n!). Застосування цієї формули покажемо на прикладі наступної задачі.

Задача: скільки чисел можна утворити з цифр 1, 2, 3, якщо 1 - повторюється три рази, 2 - два, 3 - оди раз.

У цій задачі є трьохелементна множина М={1, 2, 3}. Із елементів цієї множини потрібно утворити кортеж довжини k, що дорівнює k₁+k₂+k₃, де k₁=3, k₂=2, k₃=1. Отже, k=3+2+1=6, тобто треба утворювати кортежі довжини 6. Це означає, що нам потрібно обчислити число перестановок з повтореннями, в яких перший елемент повторюється три рази, другий - два рази, третій - один. Таким чином, Р_3,2,1=(3+2+1)!/(3!•2!•1!)=6!/(3!•2!•1!)=(1•2•3•4•5•6)/(1•2•3•1•2•1)=720:12=60. Отже, за допомогою цифр 1, 2, 3 можна записати 60 шестицифрових чисел, в яких цифра 1 буде повторюватися цифра 2 - два рази, цифра 3 - один раз.

У комбінаториці розглядаються такою перестановки без повторень. Введемо відповідне означення та виведемо формулу для обчислення їх числа.

Означення: перестановкою без повторень з даних n елементів даної n елементної множини М називають розміщення без повторень із даних n елементів по n елементів.

Як відомо, розміщення - це впорядкована підмножина, а тому одне розміщення без повторень вiдрiзняється від іншого або складом елементів, або порядком їх розташування, а перестановка із даних елементів відрізняється від іншої лише порядком розташування елементів. Число перестановок без повторень позначатимемо Р_n, а цей запис читають: число перестановок з n елементів.

Теорема: число перестановок із даних n елементів обчислюють за формулою: Р_n=n!=1•2•3•...•n.

Читайте також:

1. Міжнаціональні відносини і причини виникнення міжнаціональних конфліктів, шляхи їх розв’язання. Міжконфесійні стосунки та їх вплив на життя в полікультурному суспільстві
2. Поняття біосфери та ноосфери. Поняття екології. Основні завдання соціальної екології. Сучасні екологічні проблеми, причини їх виникнення та розв’язання.
3. Розв’язання.
4. Розв’язання.
5. Розв’язання.
6. Розв’язання.
7. Розв’язання.
8. Розв’язання.
9. Розв’язання.
10. Розв’язання.
11. Розв’язання.

Переглядів: 869