Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Доведення.

Розв’язання.

Оскільки в задачі нічого не говориться про те повторюються чи не повторюються цифри в записі чисел, то будемо вважати, що вони повторюються. Отже, в задачі є п’ятиелементна множина Х={1,2,3,4,5}, де n(Х)=5. Із елементів цієї множини потрібно утворювати впорядковані кортежі довжиною 5, бо нам потрібні п’ятицифрові числа, а, оскільки, цифри можуть повторюватися, то мова йде про розміщення з повтореннями. Отже, будемо використовувати формулу для обчислення числа розміщень з повтореннями, тобто Ãnk=nk. У нашому випадку n(Х)=5, k=5, а тому Ã55=55=3125. Таким чином, число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 5 елементів дорівнює 3125.

У комбінаториці крім розміщень з повтореннями розглядаються розміщення без повторень. Для того, щоб навчитися їх обчислювати введемо означення та доведемо відповідну теорему.

Означення: розміщенням із даних n елементів скінченної множини Х по k елементів називаються впорядковані кортежі довжини k, утворені із елементів множини Х, компоненти яких не повторюються.

Число розміщень без повторень символічно позначається Аnk i читається: число розміщень із даних n елементів по k елементів або А із n по k.

Теорема: Число розміщень з n елементів по k дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел із яких найбільшим є n.

Символічно сформульована теорема запишеться так: Аnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n-k)!

Розглянемо скінченну множину Х таку, що n(Х)=n. Будемо утворювати із елементів цієї множини кортежі довжиною k, де k≤n. Оскільки в множині Х є n елементів, то перший компонент кортежу можна вибрати n способами, другий – n-1 способом, третій - n-2 способами, і нарешті k-й – n-(k-1)=n-k+1 – способом. Згідно правила добутку число Аnk таких кортежів довжини k буде дорівнювати n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Отже, Аnk=n(n-1)(n-2)...(n-k+1). Теорему доведено.

У математиці добуток всіх послідовних чисел від 1 до деякого числа k прийнято позначати спеціальним символом k! та називати k-факторіал. Наприклад: 3!=1•2•3=6; 5!=1•2•3•4•5=120; 7!=1•2•3•4•5•6•7=5040; k!=1•2•3•...•k. У математиці прийнято вважати, що 0!=1 i 1!=1. Використовуючи ці позначення, спробуємо перетворити формулу для знаходження числа розміщень. У формулі Аnk є добуток всіх натуральних чисел від n до n-k+1, але немає добутку від 1 до n-k. Щоб одержати цей добуток i не змінити значення формули, домножимо й поділимо вираз у правій частині формули на добуток послідовних натуральних чисел від 1 до n-k. Аnk=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1)(n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)/((n-k)•(n-k-1)•…3•2•1)= n!/(n-k)!. Це зроблено тому, що в чисельнику є добуток всіх послідовних чисел від 1 до n. Отже, чисельник можна записати як n!. У знаменнику є добуток всіх послідовних натуральних чисел від 1 до n-k, то запишемо його з використанням факторіалу, тобто (n-k)!.

Покажемо застосування виведених формул для обчислення числа розміщень на прикладі наступної задачі.

Задача: скільки двозначних чисел можна записати за допомогою цифр 2, 4, 5, 6, 7 так, щоб цифри не повторювалися?


Читайте також:

  1. Доведення.
  2. Доведення.
  3. Доведення.
  4. Доведення.
  5. Доведення.
  6. Доведення.
  7. Доведення.
  8. Доведення.
  9. Доведення.
  10. Доведення.
  11. Доведення.




Переглядів: 921

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Розміщення з повтореннями та без повторень. | Розв’язання.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.