Для виведення другої формули врахуємо, що S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД), АВ=а, АД=b і ÐВАД=a. Знайдемо ВК із DАВК. ВК:АВ=sina. Оскільки S(DАВД)=1/2АД×ВК=1/2АД×АВsina, то S(АВСД)=а×bsina. Другу формулу також виведено.
Для виведення третьої формули проведемо у паралелограмі АВСД діагоналі АС=d1, ВД=d2 і позначимо ÐАОВ=g. Тоді ÐАОД=180°-g. S(АВСД)=2S(DАВД)=2S(DВОА)+2S(DАОД)=21/2ВОАОsing+21/2АООДsin(180°-g)=АО(ВОsing+ОДsin(180°-g)). Оскільки sin(180°-g)=sing, то S(АВСД)=АО(ВО+ОД)sing=АОВДsing=1/2АСВДsing. Врахувавши, що ВД=d2 і АС=d1, матимемо: S(АВСД)= 1/2АСВДsing=1/2d1d2. Теорему доведено повністю.
Теорема 7: Площа трапеції дорівнює добутку висоти на півсуму основ або обчислюється за формулами: 1) S=1/2(a+b)h, де a і b – основи трапеції, h – висота трапеції; 2) S=mh, де m=1/2(а+b). – середня ліній трапеції, h – висота трапеції.
Доведення:
Проведемо у трапеції АВСД (див. мал. № 7.16.) діагональ ВД і висоту ВК. Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=1/2АД×ВК+1/2ВС×ВК=1/2ВК×(АД+ВС)=½(а+b)×h=m×h. Теорему доведено.