Для виведення третьої формули пригадаємо відому із шкільного курсу математики теорему косинусів: c2=a2+b2-2abcosg. Звідси маємо: cosg=(a2+b2-c2):2ab. Для виведення формули Герона скористаємося формулою SD=1/2аbsing. Із шкільного курсу математики відомо, що sin2g=1-cos2g.Звідси: sin2g=1-cos2g=(1-cosg)(1+cosg)=(1-((a2+b2-c2):2ab))(1+((a2+b2-c2):2ab))=((2ab-a2-b2+c2):2ab)((2ab+a2+b2-c2):2ab). Оскільки 2ab-a2-b2=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2 і 2ab+a2+b2=(a+b)2, то дужки матимуть вигляд: ((с2-(a-b)2):2ab)(((a+b)2-с2):2ab)=1/4а2b2(с-а+b)(с+а-b)(а+b+с)(а+b-с)=1/4а2b2(а+b+с)(а+b-с)(а+с-b)(b+с-а). Якщо позначити а+b+с=2p, то а+b-с=2р-2с, а+с-b=2р-2b і b+с-а=2р-2а. Отже, маємо sin2g=2р2(р-а)2(р-b)2(р-с)/1/4а2b2. Звідси sing=4/2аbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с)). Таким чином, S=1/22/аbаbÖ(р(р-а)(р-b)(р-с))=Ö(р(р-а)(р-b)(р-с)), де р=1/2(а+b+c). Третю формулу виведено.
Теорема 6: площа паралелограма обчислюється за формулами: 1) S=ah, де а – довжина сторони, h – довжина висоти, опущеної на цю сторону; 2) S=absina, де а і b – довжини суміжних сторін паралелограма, a - кут між цими сторонами; 3) S=1/2d1d2sing, де d1 і d2 – діагоналі паралелограма, g - кут між діагоналями.
Доведення:
Для виведення першої формули проведемо діагональ ВД і висоту ВК (див. мал. № 7.15.). Діагональ ВД поділяє паралелограм АВСД на два рівних трикутника (DАВД=DВСД). Тоді S(АВСД)=S(DАВД)+S(DВСД)=2S(DАВД). Оскільки S(DАВД)=1/2АД×ВК, то S(АВСД)=2×1/2АД×ВК=АД×ВК. Позначивши АД=а, ВК=h, маємо S(АВСД)=а×h.