• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

За теоремою Гаусса

. (6.3.14)

Прирівнюємо праві частини (6.3.13) і (6.3.14), одержимо

=.

Звідки

, (6.3.15)

що збігається з формулою (6.3.6)

Висновок. Теорема Гаусса значно спрощує розрахунки, але має дуже вузькі рамки використання. Більш загальним, універсальним методом розрахунків напруженості електричного поля є метод суперпозиції, який у кінцевому випадку зводиться до інтегрування.

ЛЕКЦІЯ 7

ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ

7.1. Циркуляція вектора напруженості .Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду.

7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції.

7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля . Приклади розрахунку полів.

7.1. Циркуляція вектора напруженості. Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду

Знайдемо роботу переміщення точкового заряду q_о в електричному полі точкового заряду q із точки 1 в точку 2 (рис 7.1)

Рис 7.1

На елементарному переміщенні d силою виконується елементарна робота, яка дорівнює

dА = = F·dl·cosa = dr, (7.1.1)

де dr=dl cos a - проекція переміщення d на напрям дії сили.

Інтегруємо вираз ( 7 .1 .1) в межах від r₁ до r₂ , одержимо

A_1,2 = = . ( 7. 1. 2)

З формули ( 7 .1 .2) видно, що робота переміщення точкового заряду q_о із точки 1 в точку 2 поля статичного заряду q не залежить від форми шляху, а визначається лише положенням початкової й кінцевої точок.

Цей висновок є доказом того, що поле точкового заряду є потенціальним, а діючі в цьому полі сили є консервативними.

У випадку замкнутого контуру робота переміщення точкового заряду q_о в полі статичного заряду q буде дорівнювати нулю (рис 7.2).

Рис. 7.2

Елементарна робота сил поля на шляху dдорівнює

qd= q_oEcosadl = q_oE_edl,

де E_e = Ecosa.

Робота перенесення точкового заряду q_o по замкнутому контуру в цьому випадку буде дорівнювати нулю

q_o= q_o=0. ( 7.1 .3)

Оскільки q_o0, то

= 0. ( 7. 1 .4)

Вираз (7. 1. 4) називають теоремою про циркуляцію вектора електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру.

Силове поле, яке наділене такими властивостями, називають потенціальним полем.

Формула (7.1.4) має використання лише для статичних (нерухомих) зарядів.

В потенціальних полях робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії.

Скориставшись формулою (7.1.2), виразимо роботу сил поля по переміщенню точкового заряду q_o з точки 1 в точку 2 поля заряду q, через потенціальні енергії заряду q_o, в цих точках ( рис 7 .1)

A_1,2 == - = П₁ – П₂, (7.1.5)

де П₁ = - потенціальна енергія заряду q₀ в точці 1 поля точкового заряду q;

П₂ = - потенціальна енергія заряду q_o в точці 2 поля точкового заряду .

Або виразимо цю роботу через зменшення потенціальної енергії, при перенесенні заряду q₀ з точки 1 в точку 2, тобто

А_1,2 = - ( П₂ – П₁ ) . ( 7. 1. 6)

Якщо поле створюється системою точкових зарядів, то потенціальна енергія заряду q_o, в полі системи точкових зарядів q,_i матиме вигляд

П = q_o. (7.1 .7)

Важливо знати,що для однойменних зарядів потенціальна енергія їх взаємодії завжди додатна, а потенціальна енергія взаємодії різнойменних зарядів завжди від’ємна.

7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції

В лекціях з розділу “Механіка“ потенціальна енергія матеріальної точки або тіла визначалась через роботу переміщення тіла з будь-якої точки поля в деяке фіксоване положення, вибране за нульове положення, тобто

= П . ( 7.2.1)

Для електричних зарядів сила = q_o, тому

q_o= П . ( 7.2.2.)

З рівності (7.2.2) можна зробити висновок, що відношення = const, тобто який би заряд q_i не розміщувати в поле іншого заряду, відношення потенціальної енергії заряду q_i до величини цього заряду для даної точки поля буде величиною сталою. Цю величину називають потенціалом і позначають буквою j , тобто

j = . (7. 2. 3)

Потенціал j в будь-якій точці електростатичного поля є скалярною величиною, яка визначається потенціальною енергією позитивного пробного заряду, поміщеного в цю точку.

З урахуванням формули (7 .1. 5) потенціал поля точкового заряду q буде дорівнювати

j = . ( 7. 2. 4 )

При переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 поля в точку 2 виконану роботу можна виразити спочатку через різницю потенціальних енергій, а потім і через різницю потенціалів поля в цих точках, тобто

A_1,2 = П₁ – П₂ = q_o (j₁ - j₂) =q_o Dj. ( 7. 2. 5 )

Різниця потенціалів в двох точках поля j₁ - j₂ визначається роботою сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду із точки 1 в точку 2, тобто

j₁ - j₂ = . ( 7. 2. 6 )

Якщо вибрати точку 2 за межами поля, скажемо на безмежності, то й потенціал поля там буде дорівнювати нулю. Тому потенціал поля точкового заряду з цих міркувань можна виразити ще й так:

j = , ( 7. 2. 7 )

де A_1,¥ - робота переміщення заряду q_o з даної точки 1 в безмежність; q_o - точковий позитивний заряд.

Потенціал точкового заряду, так само як і різниця потенціалів, вимірюється в Дж/Кл або вольтах ( В ).

Для системи точкових зарядів потенціал поля в довільний точці поля цих зарядів визначається за допомогою принципу суперпозиції полів, тобто

j = , ( 7. 2. 8)

де j_I – потенціал і -го заряду в цій точці поля.

Потенціал поля системи електричних зарядів дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів всіх цих зарядів. У випадку просторового розміщення системи електричних зарядів, потенціал поля цих зарядів знаходиться шляхом інтегрування.

Розглянемо приклад розрахунку потенціалу просторово розміщених електричних зарядів. Для цього знайдемо потенціал поля рівномірно зарядженого стрижня довжиною l з лінійною густиною зарядів t, в точці А, яка перебуває на продовженні осі стрижня на відстані а від його кінця (рис. 7.3).

Рис 7.3

На стрижні виділимо безмежно малу ділянку, довжиною dx із зарядом dq, для якої потенціал в точці А можна записати, як для точкового заряду, а саме

dj = . (7.2.9)

Величина точкового заряду dq дорівнює tdx, тому

dj = . (7.2.10)

Проінтегруємо цей вираз в межах зміни x від а до a+l, тобто

j = = ln .

Аналогічно можна виконувати розрахунки потенціалу просторово розміщених електричних зарядів та в інших випадках

7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля. Приклади розрахунку полів

Як уже показано вище, робота переміщення одиничного позитивного заряду q_o в полі заряду q, виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, тобто

А_1,2 = П₁ – П₂ = -(П₂ – П₁) = -q(j₂ - j₁).

Запишемо цю роботу для безмежно малого переміщення, на якому електричний потенціал змінюється на безмежно малу величину

dА = -q_odj,

і

dА = q_o. (7.3.1)

Прирівняємо праві сторони рівностей (7.3.1), одержимо зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля:

= -dj,

звідки

E = -. (7.3.2)

Сам потенціал dj є величиною скалярною, а градієнт зміни потенціалу в певному напрямі є величиною векторною.

В більш загальному випадку просторового переміщення точкового заряду формула (7.3.2) набуває вигляду

= -j = -j,

де - вектор, який має назву оператора Гамільтона або його ще називають “набла”.

Оператор є вектором, який також можна записати так

= + + , (7.3.3)

де ,,- одиничні вектори в напрямку осей x,y,z декартової системи координат.

Знайдемо різницю потенціалів j₂ - j₁, в двох точках поля біля безмежної поверхні з поверхневою густиною зарядів s у відповідності з рисунком (рис.7.4)

Рис 7.4

Скористаємося формулою (7.3.2) зв’язку напруженості електрич-ного поля з потенціалом, одержимо

dj = -Edr. (7.3.4)

Напруженість поля E біля безмежної поверхні розрахована в шостій лекції (6.3.3), тому скористаємось готовим результатом, який дорівнює

E = .

Тоді

dj = -dr.

Інтегруємо цей вираз в межах зміни координати від x₁ до x₂ і зміни потенціалу від φ₁ до φ₂, одержимо

= -,

звідки

j₂ - j₁ = -(x₂ – x₁),

або

j₁ - j₂ = (x₂ – x₁). (7.3.5)

2. Потенціали поля в двох точках біля довгого, рівномірно зарядженого стрижня з лінійною густиною зарядів t у відповідності з рисунком (рис. 7.5)

Читайте також:

1. Використання карти великого масштабу проекції Гаусса-Крюгера
2. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА
3. Метод Гаусса знаходження оберненої матриці.
4. Метод Гаусса-Зейделя
5. Напряженность поля. Теорема Гаусса
6. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА

Переглядів: 1021