Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



За теоремою Гаусса

 

. (6.3.14)

 

Прирівнюємо праві частини (6.3.13) і (6.3.14), одержимо

 

=.

Звідки

, (6.3.15)

 

що збігається з формулою (6.3.6)

 

Висновок. Теорема Гаусса значно спрощує розрахунки, але має дуже вузькі рамки використання. Більш загальним, універсальним методом розрахунків напруженості електричного поля є метод суперпозиції, який у кінцевому випадку зводиться до інтегрування.

 

ЛЕКЦІЯ 7

 

ПОТЕНЦІАЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ

7.1. Циркуляція вектора напруженості .Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду.

7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції.

7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля . Приклади розрахунку полів.

7.1. Циркуляція вектора напруженості. Теорема про циркуляцію вектора напруженості. Потенціальна енергія заряду

Знайдемо роботу переміщення точкового заряду qо в електричному полі точкового заряду q із точки 1 в точку 2 (рис 7.1)

 

Рис 7.1

 

На елементарному переміщенні d силою виконується елементарна робота, яка дорівнює

 

dА = = F·dl·cosa = dr, (7.1.1)

 

де dr=dl cos a - проекція переміщення d на напрям дії сили.

Інтегруємо вираз ( 7 .1 .1) в межах від r1 до r2 , одержимо

 

A1,2 = = . ( 7. 1. 2)

 

З формули ( 7 .1 .2) видно, що робота переміщення точкового заряду qо із точки 1 в точку 2 поля статичного заряду q не залежить від форми шляху, а визначається лише положенням початкової й кінцевої точок.

Цей висновок є доказом того, що поле точкового заряду є потенціальним, а діючі в цьому полі сили є консервативними.

 

У випадку замкнутого контуру робота переміщення точкового заряду qо в полі статичного заряду q буде дорівнювати нулю (рис 7.2).

 

 

Рис. 7.2

 

Елементарна робота сил поля на шляху dдорівнює

 

qd= qoEcosadl = qoEedl,

де Ee = Ecosa.

 

Робота перенесення точкового заряду qo по замкнутому контуру в цьому випадку буде дорівнювати нулю

 

qo= qo=0. ( 7.1 .3)

 

Оскільки qo0, то

 

= 0. ( 7. 1 .4)

 

Вираз (7. 1. 4) називають теоремою про циркуляцію вектора електростатичного поля вздовж будь-якого замкнутого контуру.

Силове поле, яке наділене такими властивостями, називають потенціальним полем.

Формула (7.1.4) має використання лише для статичних (нерухомих) зарядів.

 

В потенціальних полях робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії.

Скориставшись формулою (7.1.2), виразимо роботу сил поля по переміщенню точкового заряду qo з точки 1 в точку 2 поля заряду q, через потенціальні енергії заряду qo, в цих точках ( рис 7 .1)

 

 

A1,2 == - = П1 – П2, (7.1.5)

де П1 = - потенціальна енергія заряду q0 в точці 1 поля точкового заряду q;

 

П2 = - потенціальна енергія заряду qo в точці 2 поля точкового заряду .

Або виразимо цю роботу через зменшення потенціальної енергії, при перенесенні заряду q0 з точки 1 в точку 2, тобто

 

А1,2 = - ( П2 – П1 ) . ( 7. 1. 6)

 

Якщо поле створюється системою точкових зарядів, то потенціальна енергія заряду qo, в полі системи точкових зарядів q,i матиме вигляд

П = qo. (7.1 .7)

 

Важливо знати,що для однойменних зарядів потенціальна енергія їх взаємодії завжди додатна, а потенціальна енергія взаємодії різнойменних зарядів завжди від’ємна.

 

7.2. Потенціал електростатичного поля. Різниця потенціалів. Принцип суперпозиції

В лекціях з розділу “Механіка“ потенціальна енергія матеріальної точки або тіла визначалась через роботу переміщення тіла з будь-якої точки поля в деяке фіксоване положення, вибране за нульове положення, тобто

= П . ( 7.2.1)

 

Для електричних зарядів сила = qo, тому

 

qo= П . ( 7.2.2.)

 

З рівності (7.2.2) можна зробити висновок, що відношення = const, тобто який би заряд qi не розміщувати в поле іншого заряду, відношення потенціальної енергії заряду qi до величини цього заряду для даної точки поля буде величиною сталою. Цю величину називають потенціалом і позначають буквою j , тобто

 

j = . (7. 2. 3)

 

Потенціал j в будь-якій точці електростатичного поля є скалярною величиною, яка визначається потенціальною енергією позитивного пробного заряду, поміщеного в цю точку.

З урахуванням формули (7 .1. 5) потенціал поля точкового заряду q буде дорівнювати

j = . ( 7. 2. 4 )

 

При переміщенні одиничного позитивного заряду з точки 1 поля в точку 2 виконану роботу можна виразити спочатку через різницю потенціальних енергій, а потім і через різницю потенціалів поля в цих точках, тобто

 

A1,2 = П1 – П2 = qo (j1 - j2) =qo Dj. ( 7. 2. 5 )

 

Різниця потенціалів в двох точках поля j1 - j2 визначається роботою сил поля по переміщенню точкового позитивного заряду із точки 1 в точку 2, тобто

j1 - j2 = . ( 7. 2. 6 )

 

Якщо вибрати точку 2 за межами поля, скажемо на безмежності, то й потенціал поля там буде дорівнювати нулю. Тому потенціал поля точкового заряду з цих міркувань можна виразити ще й так:

 

j = , ( 7. 2. 7 )

 

де A1,¥ - робота переміщення заряду qo з даної точки 1 в безмежність; qo - точковий позитивний заряд.

Потенціал точкового заряду, так само як і різниця потенціалів, вимірюється в Дж/Кл або вольтах ( В ).

 

Для системи точкових зарядів потенціал поля в довільний точці поля цих зарядів визначається за допомогою принципу суперпозиції полів, тобто

j = , ( 7. 2. 8)

 

де jI – потенціал і -го заряду в цій точці поля.

Потенціал поля системи електричних зарядів дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів полів всіх цих зарядів. У випадку просторового розміщення системи електричних зарядів, потенціал поля цих зарядів знаходиться шляхом інтегрування.

Розглянемо приклад розрахунку потенціалу просторово розміщених електричних зарядів. Для цього знайдемо потенціал поля рівномірно зарядженого стрижня довжиною l з лінійною густиною зарядів t, в точці А, яка перебуває на продовженні осі стрижня на відстані а від його кінця (рис. 7.3).

Рис 7.3

 

На стрижні виділимо безмежно малу ділянку, довжиною dx із зарядом dq, для якої потенціал в точці А можна записати, як для точкового заряду, а саме

dj = . (7.2.9)

 

Величина точкового заряду dq дорівнює tdx, тому

 

dj = . (7.2.10)

 

Проінтегруємо цей вираз в межах зміни x від а до a+l, тобто

 

j = = ln .

 

Аналогічно можна виконувати розрахунки потенціалу просторово розміщених електричних зарядів та в інших випадках

 

7.3. Зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатич-ного поля. Приклади розрахунку полів

 

Як уже показано вище, робота переміщення одиничного позитивного заряду qo в полі заряду q, виконується за рахунок зменшення потенціальної енергії, тобто

 

А1,2 = П1 – П2 = -(П2 – П1) = -q(j2 - j1).

 

Запишемо цю роботу для безмежно малого переміщення, на якому електричний потенціал змінюється на безмежно малу величину

 

dА = -qodj,

і

dА = qo. (7.3.1)

 

 

Прирівняємо праві сторони рівностей (7.3.1), одержимо зв’язок між потенціалом і напруженістю електростатичного поля:

 

= -dj,

звідки

E = -. (7.3.2)

 

Сам потенціал dj є величиною скалярною, а градієнт зміни потенціалу в певному напрямі є величиною векторною.

В більш загальному випадку просторового переміщення точкового заряду формула (7.3.2) набуває вигляду

 

= -j = -j,

 

де - вектор, який має назву оператора Гамільтона або його ще називають “набла”.

Оператор є вектором, який також можна записати так

 

= + + , (7.3.3)

 

де ,,- одиничні вектори в напрямку осей x,y,z декартової системи координат.

Знайдемо різницю потенціалів j2 - j1, в двох точках поля біля безмежної поверхні з поверхневою густиною зарядів s у відповідності з рисунком (рис.7.4)

Рис 7.4

 

Скористаємося формулою (7.3.2) зв’язку напруженості електрич-ного поля з потенціалом, одержимо

 

dj = -Edr. (7.3.4)

 

Напруженість поля E біля безмежної поверхні розрахована в шостій лекції (6.3.3), тому скористаємось готовим результатом, який дорівнює

E = .

Тоді

dj = -dr.

 

Інтегруємо цей вираз в межах зміни координати від x1 до x2 і зміни потенціалу від φ1 до φ2, одержимо

 

= -,

звідки

j2 - j1 = -(x2 – x1),

або

j1 - j2 = (x2 – x1). (7.3.5)

 

2. Потенціали поля в двох точках біля довгого, рівномірно зарядженого стрижня з лінійною густиною зарядів t у відповідності з рисунком (рис. 7.5)

 

 


Читайте також:

  1. Використання карти великого масштабу проекції Гаусса-Крюгера
  2. ЗАСТОСУВАННЯ ТЕОРЕМИ ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА
  3. Метод Гаусса знаходження оберненої матриці.
  4. Метод Гаусса-Зейделя
  5. Напряженность поля. Теорема Гаусса
  6. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСЬКОГО - ГАУССА




Переглядів: 1016

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
З рисунка видно, що | Плоский конденсатор

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.013 сек.