• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Метод Гаусса-Зейделя

Цей метод відрізняється від методу простої ітерації тільки тим, що для обчислення використовуються вже знайдені на цій (а не на попередній) ітерації нові значення .

Для СЛАР 3-го порядку:

(3.7)

Для ої ітерації

(3.8)

У загальному випадку для СЛАР го порядку

. (3.9)

Якщо для кожного існує скінчена границя послідовності при , то такий ітераційний процес називається збіжним, а розв’язки системи рівнянь:

.

При цьому максимуми різниці між значеннями змінних на двох послідовних ітераціях прямують до нуля, тобто .

Збіжність ітераційного процесу. Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб модуль діагонального коефіцієнта для кожного рівняння системи був не менше суми модулів всієї решти коефіцієнтів цього рівняння (тобто в рядку):

(3.10)

При цьому хоча б для одного рівняння нерівність повинна виконуватися строго. Ці умови є достатніми для збіжності методу, але вони не є необхідними, тобто для деяких СЛАР ітераційний процес сходиться і при порушенні умов (3.10).

Розглянемо попередній приклад та застосуємо до нього метод Гауса-Зейделя.

звідки

Покладемо .

Нехай

Перша ітерація:

.

Друга ітерація:

.

Третя ітерація:

.

Четверта ітерація:

.

Потрібна точність досягнута, отже:

Похибки обчислень:

Порівнюємо методи простої ітерації та Гаусса-Зейделя.

Потрібна точність досягнута швидше при застосуванні методу Гаусса-Зейделя (4 ітерації), ніж при застосуванні методу простої ітерації (5 ітерацій). Отже, можна стверджувати, що, взагалі кажучи, метод Гаусса-Зейделя збігається швидше, ніж метод простої ітерації, він потребує менше машинного часу. більш того, за ці 4 ітерації методом Гаусса-Зейделя досягнуто точності 0,01.

Графічна інтерпретація методу Гаусса-Зейделя виглядатиме так

Рис. 3.1 – Збіжність ітераційного процесу

Процес сходиться до значення .

Тут умови збіжності виконуються, оскільки і .

Подивимося, що вийде, якщо поміняємо місцями ці рівняння

звідки

Процес розходиться (див. рис. 3.2).

Рис. 3.2 – Розбіжний ітераційний процес

Порівняння прямих та ітераційних методів.

1. Прямими методами теоретично можна розв’язати будь-яку невироджену СЛАР, а ітераційні методи сходяться не для всіх систем рівнянь, тобто прямі методи мають велику область розв’язків.

2. Обсяг обчислень прямих методів приблизно операцій, а Гаусса-Зейделя – приблизно (кількість ітерацій), тому загальні витрати машинного часу у методі Гаусса-Зейделя будуть менші.

3. Помилки округлення в ітераційних методах менші. Це має вирішальне значення при розв’язуванні великих СЛАР.

Читайте також:

1. D) методу мозкового штурму.
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. I Метод Шеннона-Фано
4. I. Метод рiвних вiдрiзкiв.
5. VII. Нахождение общего решения методом характеристик
6. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
7. Автоматизація водорозподілу на відкритих зрошувальних системах. Методи керування водорозподілом. Вимірювання рівня води. Вимірювання витрати.
8. Агрегативна стійкість, коагуляція суспензій. Методи отримання.
9. АгротехнІЧНИЙ метод
10. Адаптовані й специфічні методи дослідження у журналістикознавстві
11. Адміністративні (прямі) методи регулювання.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 1361