Методи розв’язування СЛАР звичайно розділені на дві великі групи: точні (або прямі) і наближені (ітераційні).
Точні (прямі) методи дозволяють для будь-яких систем у принципі знайти точні значення невідомих після скінченого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.
Наближені ітераційні методи дають розв’язок в результаті, у принципі, нескінченного процесу наближень.
З прямих методів найбільш поширені методи Гауса, Крамера і LU-перетворення, набагато рідше використовується метод оберненої матриці. Метод Крамера (з використанням визначників) вимагає дуже великих обчислень вже при розв’язуванні системи 5 рівнянь, тому використовується тільки в учбовій літературі.
З ітераційних методів використовуються в основному методи простої ітерації і метод Гаусса-Зейделя.
Прямі методи вивчалися у курсі «Вища математика». Тому одразу переходимо до вивчення ітераційних методів.
Ітерація – результат повторного використання якої-небудь математичної операції.
Найпростішим ітераційним методом розв’язування СЛАР є ітераційний метод Гауса (метод простої ітерації).
Проілюструємо цей метод на прикладі розв’язування СЛАР 3-го порядку
(3.1)
Припустимо, що . Розв’яжемо перше рівняння відносно , друге рівняння – відносно , третє – відносно .
Маємо:
(3.2)
Задамо деякі початкові (нульові) наближення невідомим. Підставляючи у праві частини наведених вище рівнянь ці початкові значення, отримаємо нові (перші) наближення для :
(3.3)
Використовуючи обчислені значення , знайдемо наступні (другі) наближення :
Кожні наступні наближення знаходимо аналогічно:
У загальному випадку для СЛАР го порядку:
. (3.4)
Ітераційний процес продовжується доти, поки на сусідніх ітераціях значення та не відрізнятимуться один від одного на задану величину похибки, тобто
(3.5)
або
, якщо . (3.6)
Розглянемо простий приклад.
звідки
Покладемо .
Нехай
Перша ітерація:
.
Друга ітерація:
.
Третя ітерація:
.
Четверта ітерація:
.
П’ята ітерація:
.
Потрібна точність досягнута, отже:
Легко знайти точні значення розв’язків системи рівнянь: