Теорема 6.1.Числа Фібоначчі можна розрахувати по формулі
.
Доказ. Переконаємося в справедливості цієї формули для n = 0, 1, а потім доведемо справедливість даної формули для довільного n по індукції. Обчислимо|обчислятимемо,вичислимо| відношення|ставлення| двох найближчих чисел Фібоначчі:
Ми бачимо, що відношення|ставлення| цих чисел коливається|вагається| біля|близько| значення 1.618 (якщо ігнорувати декілька перших значень). Цією властивістю числа Фібоначчі нагадують члени геометричної прогресії. Приймемо (). Тоді вираз|вираження|
перетвориться в
,
який після|потім| спрощень виглядає так
.
Ми одержали|отримали| квадратне рівняння, коріння якого рівне:
Тепер можемо записати:
(де с|із| є|з'являється,являється| константою). Обидва члени і не дають чисел Фібоначчі, наприклад , тоді як . Проте|однак| різниця задовольняє рекурентному рівнянню:
.
Для n=0 ця різниця дає , тобто|цебто|: . Проте|однак| при n=1 ми маємо . Щоб одержати |отримати|, необхідно прийняти: .
Тепер ми маємо дві послідовності: і , які починаються з однакових двох чисел і задовольняють одній і тій же рекурентній формулі. Вони повинні бути рівні: . Теорема доведена.
При зростанні n член стає дуже великим, тоді як , і роль члена в різниці скорочується. Тому при великих n приблизно можемо записати
.
Ми ігноруємо 1/2 (оскільки числа Фібоначчі зростають до безкінечності при зростанні|зрості| n до безкінечності).
Відношення|ставлення| називається золотим перетином, його використовують за межами математики (наприклад, в архітектурі). Золотим перетином є|з'являється,являється| відношення|ставлення| між діагоналлю і стороною правильного п'ятикутника.