• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Формула для чисел Фібоначчі

Теорема 6.1. Числа Фібоначчі можна розрахувати по формулі

.

Доказ. Переконаємося в справедливості цієї формули для n = 0, 1, а потім доведемо справедливість даної формули для довільного n по індукції. Обчислимо|обчислятимемо,вичислимо| відношення|ставлення| двох найближчих чисел Фібоначчі:

Ми бачимо, що відношення|ставлення| цих чисел коливається|вагається| біля|близько| значення 1.618 (якщо ігнорувати декілька перших значень). Цією властивістю числа Фібоначчі нагадують члени геометричної прогресії. Приймемо (). Тоді вираз|вираження|

перетвориться в

,

який після|потім| спрощень виглядає так

.

Ми одержали|отримали| квадратне рівняння, коріння якого рівне:

Тепер можемо записати:

(де с|із| є|з'являється,являється| константою). Обидва члени і не дають чисел Фібоначчі, наприклад , тоді як . Проте|однак| різниця задовольняє рекурентному рівнянню:

.

Для n=0 ця різниця дає , тобто|цебто|: . Проте|однак| при n=1 ми маємо . Щоб одержати |отримати|, необхідно прийняти: .

Тепер ми маємо дві послідовності: і , які починаються з однакових двох чисел і задовольняють одній і тій же рекурентній формулі. Вони повинні бути рівні: . Теорема доведена.

При зростанні n член стає дуже великим, тоді як , і роль члена в різниці скорочується. Тому при великих n приблизно можемо записати

.

Ми ігноруємо 1/2 (оскільки числа Фібоначчі зростають до безкінечності при зростанні|зрості| n до безкінечності).

Відношення|ставлення| називається золотим перетином, його використовують за межами математики (наприклад, в архітектурі). Золотим перетином є|з'являється,являється| відношення|ставлення| між діагоналлю і стороною правильного п'ятикутника.

Читайте також:

1. N – чисельність популяції
2. Абсолютні й відносні посилання у формулах
3. Аксіома неперервності дійсних чисел
4. Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
5. Аналіз чисельності, складу і руху персоналу
6. Барометрична формула
7. Барометрична формула. Розподіл Больцмана частинок у зовнішньому потенціальному полі
8. Введення чисел.
9. Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
10. Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
11. Визначення чисельності окремих категорій працівників
12. Визначення чисельності окремих категорій працівників

Переглядів: 1232