де my, m1, m2, …, mn– середні квадратичні похибки функції та її аргументів.
В узагальненому вигляді середню квадратичну похибку функції для незалежних аргументів виражають формулою
. (7.83)
В теорії похибок вимірів для визначення дисперсії функції (7.72) застосовують правило:
1. Диференціюють функцію (7.72)
. (7.84)
2. В отриманій формулі (7.84) зводять до квадрату кожен член разом із своїм знаком
+ +…+ . (7.85)
3. В формулі (7.85) замінюють
; , ... , ,
тобто + + ... + .
Як бачимо, отримана формула повністю співпадає з формулою (7.82). Для зручності середні квадратичні похибки позначаємо нумерацією аргументів : , і т.д.
Приклади: 1. Маємо функцію у = kх. (7.86)
Розв’язання. dy = kdx;
, абоmy = kmx. (7.87)
2. Маємо функцію . (7.88)
Розв’язання. ;
;
+ + , ... , + . (7.89)
3. Маємо функцію . (7.90)
Розв’язання. ;
;
+ + , ... , + . (7.91)
4. Маємо функцію z = x× y (7.92)
Розв’язання. а) dz = ydx + xdy
(dz)2 =(ydx)2 + (xdy)2;
. (7.93)
б) lnz = lnx + lny ;
; ;
. (7.94)
Якщо в отриманій формулі замінити z2 = x2y2, то отримаємо
,
що приводить до попередньої формули (7.93).
5. Маємо функцію . (7.95)
Розв’язання. lnz = lnx – lny.
; ,
або . (7.96)
Як бачимо, дисперсія функції добутку (7.94) співпадає з дисперсією функції ділення величин х та у(7.96).
6. Маємо функцію перевищення .
Розв’язання. Визначити дисперсію функції можна без проміжних викладок. Для цього пам’ятаємо: а) всі члени в формулі дисперсії функції будуть позитивними; б) похідні від вихідної функції зводяться до квадрата і множаться на дисперсії відповідних перемінних. Тоді
.
Оскільки ms має лінійну розмірність, mn – кутову, а шукана величина mh – лінійну, то зводимо другий член формули до лінійного виду.
Середня квадратична похибка визначення перевищення визначиться за формулою
.
7. Площа прямокутного поля визначена вимірюванням сторін а = 150 м і b = 210 м з середніми квадратичними похибками ma = 3 см; mb = 5 см. Обчислити похибку площі ділянки.