Нехай – послідовність значень незалежної змінної, а – послідовність відповідних значень залежної змінної. Припустимо, що точки , , ..., приблизно розташовуються на одній прямій. Поставимо за мету підібрати рівняння прямої , яка є найточнішим наближенням залежності між та .
Зміст методу найменших квадратів полягає у тому, що шукану лінію підбирають таким чином, щоб сума квадратів відхилень була б найменшою. Маємо
.
Використовуючи необхідну умову екстремуму (9.5) функції , отримаємо:
.
Тобто коефіцієнти і прямої обчислюються із системи рівнянь:
(9.7)
Приклад 9.Експериментально одержані значення функції у п’яти точках , які записані у таблиці:
3,9
4,1
3,5
2,5
2,4
Методом найменших квадратів знайти функцію , що виражає приблизно функцію . Зробити рисунок, на якому побудувати графік функції та експериментальні точки.
Розв’язання.Для знаходження коефіцієнтів і за формулами (9.7) обчислимо та , результати занесемо у таблицю:
3,9
3,9
4,1
8,2
3,5
10,5
2,5
2,4
16,4
44,6
Маємо:
.
Отже,
.
Пряма та експериментальні точки показані на рис. 9.14.